Calcul infinitésimal Exemples

$\cos (x y) + x^{7} = y^{7}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\cos (x y) + x^{7}) = \frac{d}{d x} (y^{7})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (x y) + x^{7}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (x y)] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x y)] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos (x y)]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 2.2.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 2.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y) + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$- \sin (x y) (x y' + y) + 7 x^{6}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y + 7 x^{6}$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$7 x^{6} - x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$7 y^{6} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$7 y^{6} y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$7 x^{6} - x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = 7 y^{6} y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $7 x^{6} - x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ .

$7 x^{6} - x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = 7 y^{6} y'$

Étape 5.2

Soustrayez $7 y^{6} y'$ des deux côtés de l’équation.

$7 x^{6} - x y' \sin (x y) - y \sin (x y) - 7 y^{6} y' = 0$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.1

Soustrayez $7 x^{6}$ des deux côtés de l’équation.

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) - 7 y^{6} y' = - 7 x^{6}$

Étape 5.3.2

Ajoutez $y \sin (x y)$ aux deux côtés de l’équation.

$- x y' \sin (x y) - 7 y^{6} y' = - 7 x^{6} + y \sin (x y)$

Étape 5.4

Factorisez $y'$ à partir de $- x y' \sin (x y) - 7 y^{6} y'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $- x y' \sin (x y)$ .

$y' (- x \sin (x y)) - 7 y^{6} y' = - 7 x^{6} + y \sin (x y)$

Étape 5.4.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 7 y^{6} y'$ .

$y' (- x \sin (x y)) + y' (- 7 y^{6}) = - 7 x^{6} + y \sin (x y)$

Étape 5.4.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- x \sin (x y)) + y' (- 7 y^{6})$ .

$y' (- x \sin (x y) - 7 y^{6}) = - 7 x^{6} + y \sin (x y)$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (- x \sin (x y) - 7 y^{6}) = - 7 x^{6} + y \sin (x y)$ par $- x \sin (x y) - 7 y^{6}$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (- x \sin (x y) - 7 y^{6}) = - 7 x^{6} + y \sin (x y)$ par $- x \sin (x y) - 7 y^{6}$ .

$\frac{y' (- x \sin (x y) - 7 y^{6})}{- x \sin (x y) - 7 y^{6}} = \frac{- 7 x^{6}}{- x \sin (x y) - 7 y^{6}} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 7 y^{6}}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- x \sin (x y) - 7 y^{6}$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- x \sin (x y) - 7 y^{6})}{- x \sin (x y) - 7 y^{6}} = \frac{- 7 x^{6}}{- x \sin (x y) - 7 y^{6}} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 7 y^{6}}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 7 x^{6}}{- x \sin (x y) - 7 y^{6}} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 7 y^{6}}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{7 x^{6}}{- x \sin (x y) - 7 y^{6}} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 7 y^{6}}$

Étape 5.5.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 7 x^{6} + y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 7 y^{6}}$

Étape 5.5.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 7 x^{6}$ .

$y' = \frac{- (7 x^{6}) + y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 7 y^{6}}$

Étape 5.5.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $y \sin (x y)$ .

$y' = \frac{- (7 x^{6}) - (- y \sin (x y))}{- x \sin (x y) - 7 y^{6}}$

Étape 5.5.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (7 x^{6}) - (- y \sin (x y))$ .

$y' = \frac{- (7 x^{6} - y \sin (x y))}{- x \sin (x y) - 7 y^{6}}$

Étape 5.5.3.6

Réécrivez $- (7 x^{6} - y \sin (x y))$ comme $- 1 (7 x^{6} - y \sin (x y))$ .

$y' = \frac{- 1 (7 x^{6} - y \sin (x y))}{- x \sin (x y) - 7 y^{6}}$

Étape 5.5.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- x \sin (x y)$ .

$y' = \frac{- 1 (7 x^{6} - y \sin (x y))}{- (x \sin (x y)) - 7 y^{6}}$

Étape 5.5.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 7 y^{6}$ .

$y' = \frac{- 1 (7 x^{6} - y \sin (x y))}{- (x \sin (x y)) - (7 y^{6})}$

Étape 5.5.3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x \sin (x y)) - (7 y^{6})$ .

$y' = \frac{- 1 (7 x^{6} - y \sin (x y))}{- (x \sin (x y) + 7 y^{6})}$

Étape 5.5.3.10

Réécrivez $- (x \sin (x y) + 7 y^{6})$ comme $- 1 (x \sin (x y) + 7 y^{6})$ .

$y' = \frac{- 1 (7 x^{6} - y \sin (x y))}{- 1 (x \sin (x y) + 7 y^{6})}$

Étape 5.5.3.11

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- 1 (7 x^{6} - y \sin (x y))}{- 1 (x \sin (x y) + 7 y^{6})}$

Étape 5.5.3.12

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{7 x^{6} - y \sin (x y)}{x \sin (x y) + 7 y^{6}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x^{6} - y \sin (x y)}{x \sin (x y) + 7 y^{6}}$