Calcul infinitésimal Exemples

$e^{y} \sin (x) = x + x y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (e^{y} \sin (x)) = \frac{d}{d x} (x + x y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{y}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) e^{y} y'$

Étape 2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$1 + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$1 + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + x y' + y \cdot 1$

Étape 3.2.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$1 + x y' + y$

Étape 3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$x y' + y + 1$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y' = x y' + y + 1$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y'$ .

$e^{y} \cos (x) + y' e^{y} \sin (x) = x y' + y + 1$

Étape 5.2

Soustrayez $x y'$ des deux côtés de l’équation.

$e^{y} \cos (x) + y' e^{y} \sin (x) - x y' = y + 1$

Étape 5.3

Soustrayez $e^{y} \cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$y' e^{y} \sin (x) - x y' = y + 1 - e^{y} \cos (x)$

Étape 5.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' e^{y} \sin (x) - x y'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $y' e^{y} \sin (x)$ .

$y' (e^{y} \sin (x)) - x y' = y + 1 - e^{y} \cos (x)$

Étape 5.4.2

Factorisez $y'$ à partir de $- x y'$ .

$y' (e^{y} \sin (x)) + y' (- x) = y + 1 - e^{y} \cos (x)$

Étape 5.4.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (e^{y} \sin (x)) + y' (- x)$ .

$y' (e^{y} \sin (x) - x) = y + 1 - e^{y} \cos (x)$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (e^{y} \sin (x) - x) = y + 1 - e^{y} \cos (x)$ par $e^{y} \sin (x) - x$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (e^{y} \sin (x) - x) = y + 1 - e^{y} \cos (x)$ par $e^{y} \sin (x) - x$ .

$\frac{y' (e^{y} \sin (x) - x)}{e^{y} \sin (x) - x} = \frac{y}{e^{y} \sin (x) - x} + \frac{1}{e^{y} \sin (x) - x} + \frac{- e^{y} \cos (x)}{e^{y} \sin (x) - x}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{y} \sin (x) - x$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (e^{y} \sin (x) - x)}{e^{y} \sin (x) - x} = \frac{y}{e^{y} \sin (x) - x} + \frac{1}{e^{y} \sin (x) - x} + \frac{- e^{y} \cos (x)}{e^{y} \sin (x) - x}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{y}{e^{y} \sin (x) - x} + \frac{1}{e^{y} \sin (x) - x} + \frac{- e^{y} \cos (x)}{e^{y} \sin (x) - x}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{y}{e^{y} \sin (x) - x} + \frac{1}{e^{y} \sin (x) - x} - \frac{e^{y} \cos (x)}{e^{y} \sin (x) - x}$

Étape 5.5.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{y + 1}{e^{y} \sin (x) - x} - \frac{e^{y} \cos (x)}{e^{y} \sin (x) - x}$

Étape 5.5.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{y + 1 - e^{y} \cos (x)}{e^{y} \sin (x) - x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 1 - e^{y} \cos (x)}{e^{y} \sin (x) - x}$