Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{x + y} = 1 + x^{2} y^{2}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + y}$ comme ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 1 + x^{2} y^{2}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (1 + x^{2} y^{2})$

Étape 3

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + y$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.6

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.6.3

Placez ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.9

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')$

Étape 3.10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.10.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')$ .

$(1 + y') \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.10.2

Multipliez $1 + y'$ par $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2} y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Étape 4.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y^{2}$ .

$0 + x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$0 + x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$0 + x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$0 + x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x)$

Étape 4.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$0 + 2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

Étape 4.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$0 + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Étape 4.3

Additionnez $0$ et $2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Étape 6

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez les deux côtés par $2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Simplifiez $\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + y'}{{(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + y'}{{(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$1 + y' = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.4

Remettez dans l’ordre $1$ et $y'$ .

$y' + 1 = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Simplifiez $(2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' + 1 = 2 x^{2} y y' (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + 2 y^{2} x (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.2.1.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$y' + 1 = 4 x^{2} y y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y^{2} x (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y' + 1 = 4 x^{2} y y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 y^{2} x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2.2.1.2.3

Déplacez $y$ .

$y' + 1 = 4 x^{2} y' y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 y^{2} x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2.2.1.2.4

Déplacez $x^{2}$ .

$y' + 1 = 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 y^{2} x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2.2.1.2.5

Déplacez $y^{2}$ .

$y' + 1 = 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Soustrayez $4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$y' + 1 - 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y' - 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

Étape 6.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' - 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

Étape 6.3.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

Étape 6.3.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cdot 1 + y' (- 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' (1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

Étape 6.3.4

Divisez chaque terme dans $y' (1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$ par $1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$ par $1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y' (1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 1}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.4.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 6.3.4.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 1}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$