Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 1 + \sqrt{2 + 3 x}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 1 + \sqrt{2 + 3 x}$ comme une équation.

$y = 1 + \sqrt{2 + 3 x}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 1 + \sqrt{2 + 3 y}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $1 + \sqrt{2 + 3 y} = x$ .

$1 + \sqrt{2 + 3 y} = x$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{2 + 3 y} = x - 1$

Étape 3.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{2 + 3 y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 + 3 y}$ comme ${(2 + 3 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 + 3 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${({(2 + 3 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 + 3 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 + 3 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 + 3 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 + 3 y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez

$2 + 3 y = {(x - 1)}^{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1

Simplifiez ${(x - 1)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$2 + 3 y = (x - 1) (x - 1)$

Étape 3.4.3.1.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 + 3 y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Étape 3.4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 + 3 y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Étape 3.4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 + 3 y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 3.4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 + 3 y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 3.4.3.1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$2 + 3 y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 3.4.3.1.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$2 + 3 y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 3.4.3.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$2 + 3 y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Étape 3.4.3.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 + 3 y = x^{2} - x - x + 1$

Étape 3.4.3.1.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$2 + 3 y = x^{2} - 2 x + 1$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 y = x^{2} - 2 x + 1 - 2$

Étape 3.5.1.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$3 y = x^{2} - 2 x - 1$

Étape 3.5.2

Divisez chaque terme dans $3 y = x^{2} - 2 x - 1$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $3 y = x^{2} - 2 x - 1$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 2 x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 2 x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Étape 3.5.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 2 x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{(2) x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Étape 3.5.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}$ est l’inverse de $f (x) = 1 + \sqrt{2 + 3 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{2 + 3 x})}^{2}}{3} - \frac{2 (1 + \sqrt{2 + 3 x})}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{2 + 3 x})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1

Réécrivez ${(1 + \sqrt{2 + 3 x})}^{2}$ comme $(1 + \sqrt{2 + 3 x}) (1 + \sqrt{2 + 3 x})$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{(1 + \sqrt{2 + 3 x}) (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Étape 5.2.4.2

Développez $(1 + \sqrt{2 + 3 x}) (1 + \sqrt{2 + 3 x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) + \sqrt{2 + 3 x} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Étape 5.2.4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Étape 5.2.4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} \cdot 1 + \sqrt{2 + 3 x} \sqrt{2 + 3 x} - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Étape 5.2.4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 + 1 \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} \cdot 1 + \sqrt{2 + 3 x} \sqrt{2 + 3 x} - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Étape 5.2.4.3.1.2

Multipliez $\sqrt{2 + 3 x}$ par $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} \cdot 1 + \sqrt{2 + 3 x} \sqrt{2 + 3 x} - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Étape 5.2.4.3.1.3

Multipliez $\sqrt{2 + 3 x}$ par $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} \sqrt{2 + 3 x} - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Étape 5.2.4.3.1.4

Multipliez $\sqrt{2 + 3 x} \sqrt{2 + 3 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.3.1.4.1

Élevez $\sqrt{2 + 3 x}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} \sqrt{2 + 3 x} - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Étape 5.2.4.3.1.4.2

Élevez $\sqrt{2 + 3 x}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} \sqrt{2 + 3 x} - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Étape 5.2.4.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} + {\sqrt{2 + 3 x}}^{1 + 1} - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Étape 5.2.4.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} + {\sqrt{2 + 3 x}}^{2} - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Étape 5.2.4.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{2 + 3 x}}^{2}$ comme $2 + 3 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 + 3 x}$ comme ${(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} + {({(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Étape 5.2.4.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} + {(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Étape 5.2.4.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} + {(2 + 3 x)}^{\frac{2}{2}} - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Étape 5.2.4.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} + {(2 + 3 x)}^{\frac{2}{2}} - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Étape 5.2.4.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} + 2 + 3 x - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Étape 5.2.4.3.1.5.5

Simplifiez

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} + 2 + 3 x - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Étape 5.2.4.3.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{3 + \sqrt{2 + 3 x} + \sqrt{2 + 3 x} + 3 x - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Étape 5.2.4.3.3

Additionnez $\sqrt{2 + 3 x}$ et $\sqrt{2 + 3 x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2 + 3 x} + 3 x - 2 (1 + \sqrt{2 + 3 x}) - 1}{3}$

Étape 5.2.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2 + 3 x} + 3 x - 2 \cdot 1 - 2 \sqrt{2 + 3 x} - 1}{3}$

Étape 5.2.4.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2 + 3 x} + 3 x - 2 - 2 \sqrt{2 + 3 x} - 1}{3}$

Étape 5.2.5

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1

Associez les termes opposés dans $3 + 2 \sqrt{2 + 3 x} + 3 x - 2 - 2 \sqrt{2 + 3 x} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1.1

Soustrayez $2 \sqrt{2 + 3 x}$ de $2 \sqrt{2 + 3 x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{3 + 3 x - 2 + 0 - 1}{3}$

Étape 5.2.5.1.2

Additionnez $3 + 3 x - 2$ et $0$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{3 + 3 x - 2 - 1}{3}$

Étape 5.2.5.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{3 x + 1 - 1}{3}$

Étape 5.2.5.3

Associez les termes opposés dans $3 x + 1 - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{3 x + 0}{3}$

Étape 5.2.5.3.2

Additionnez $3 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{3 x}{3}$

Étape 5.2.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = \frac{3 x}{3}$

Étape 5.2.5.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 3 x}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{2 + 3 (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3})}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{2 + 3 (\frac{x^{2}}{3}) + 3 (- \frac{2 x}{3}) + 3 (- \frac{1}{3})}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{2 + 3 (\frac{x^{2}}{3}) + 3 (- \frac{2 x}{3}) + 3 (- \frac{1}{3})}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{2 + x^{2} + 3 (- \frac{2 x}{3}) + 3 (- \frac{1}{3})}$

Étape 5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 x}{3}$ dans le numérateur.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{2 + x^{2} + 3 (\frac{- 2 x}{3}) + 3 (- \frac{1}{3})}$

Étape 5.3.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{2 + x^{2} + 3 (\frac{- 2 x}{3}) + 3 (- \frac{1}{3})}$

Étape 5.3.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{2 + x^{2} - 2 x + 3 (- \frac{1}{3})}$

Étape 5.3.3.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{2 + x^{2} - 2 x + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Étape 5.3.3.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{2 + x^{2} - 2 x + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Étape 5.3.3.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{2 + x^{2} - 2 x - 1}$

Étape 5.3.3.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 5.3.3.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

Étape 5.3.3.4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 5.3.3.4.3

Réécrivez le polynôme.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Étape 5.3.3.4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.3.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + x - 1$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $1 + x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}$ est l’inverse de $f (x) = 1 + \sqrt{2 + 3 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}$