Calcul infinitésimal Exemples

$\cos (2 \arctan (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 \arctan (x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 \arctan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 \arctan (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 \arctan (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 \arctan (x)$ .

$- \sin (2 \arctan (x)) \frac{d}{d x} [2 \arctan (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \arctan (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$- \sin (2 \arctan (x)) (2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)])$

Étape 2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \sin (2 \arctan (x)) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Étape 3

La dérivée de $\arctan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$- 2 \sin (2 \arctan (x)) \frac{1}{1 + x^{2}}$

Étape 4

Associez les fractions.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{1 + x^{2}}$ et $- 2$ .

$\frac{- 2}{1 + x^{2}} \sin (2 \arctan (x))$

Étape 4.2

Associez $\frac{- 2}{1 + x^{2}}$ et $\sin (2 \arctan (x))$ .

$\frac{- 2 \sin (2 \arctan (x))}{1 + x^{2}}$

Étape 4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \sin (2 \arctan (x))}{1 + x^{2}}$