Calcul infinitésimal Exemples

$8 x {(x^{2} + 9)}^{3}$

Étape 1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x {(x^{2} + 9)}^{3}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 9)}^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 9)}^{3}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} + 9)}^{3}$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{3}] + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x^{2} + 9$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 9$ .

$8 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$8 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 9$ .

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [9])) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} (2 x)) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$8 (x (6 {(x^{2} + 9)}^{2} x) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$8 (x^{1} x (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$8 (x^{1} x^{1} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 (x^{1 + 1} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8

Additionnez $1$ et $1$ .

$8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \cdot 1)$

Étape 10

Multipliez ${(x^{2} + 9)}^{3}$ par $1$ .

$8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3})$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 9)}^{2})) + 8 {(x^{2} + 9)}^{3}$

Étape 11.2

Multipliez $6$ par $8$ .

$48 (x^{2} ({(x^{2} + 9)}^{2})) + 8 {(x^{2} + 9)}^{3}$

Étape 11.3

Factorisez $8 {(x^{2} + 9)}^{2}$ à partir de $48 x^{2} {(x^{2} + 9)}^{2} + 8 {(x^{2} + 9)}^{3}$ .

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Étape 11.3.1

Factorisez $8 {(x^{2} + 9)}^{2}$ à partir de $48 x^{2} {(x^{2} + 9)}^{2}$ .

$8 {(x^{2} + 9)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 9)}^{3}$

Étape 11.3.2

Factorisez $8 {(x^{2} + 9)}^{2}$ à partir de $8 {(x^{2} + 9)}^{3}$ .

$8 {(x^{2} + 9)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 9)}^{2} (x^{2} + 9)$

Étape 11.3.3

Factorisez $8 {(x^{2} + 9)}^{2}$ à partir de $8 {(x^{2} + 9)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 9)}^{2} (x^{2} + 9)$ .

$8 {(x^{2} + 9)}^{2} (6 x^{2} + x^{2} + 9)$

Étape 11.4

Additionnez $6 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$8 {(x^{2} + 9)}^{2} (7 x^{2} + 9)$

Étape 11.5

Réécrivez ${(x^{2} + 9)}^{2}$ comme $(x^{2} + 9) (x^{2} + 9)$ .

$8 ((x^{2} + 9) (x^{2} + 9)) (7 x^{2} + 9)$

Étape 11.6

Développez $(x^{2} + 9) (x^{2} + 9)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 11.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 (x^{2} (x^{2} + 9) + 9 (x^{2} + 9)) (7 x^{2} + 9)$

Étape 11.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 9 + 9 (x^{2} + 9)) (7 x^{2} + 9)$

Étape 11.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (7 x^{2} + 9)$

Étape 11.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 11.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.7.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.7.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (7 x^{2} + 9)$

Étape 11.7.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$8 (x^{4} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (7 x^{2} + 9)$

Étape 11.7.1.2

Déplacez $9$ à gauche de $x^{2}$ .

$8 (x^{4} + 9 \cdot x^{2} + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (7 x^{2} + 9)$

Étape 11.7.1.3

Multipliez $9$ par $9$ .

$8 (x^{4} + 9 x^{2} + 9 x^{2} + 81) (7 x^{2} + 9)$

Étape 11.7.2

Additionnez $9 x^{2}$ et $9 x^{2}$ .

$8 (x^{4} + 18 x^{2} + 81) (7 x^{2} + 9)$

Étape 11.8

Appliquez la propriété distributive.

$(8 x^{4} + 8 (18 x^{2}) + 8 \cdot 81) (7 x^{2} + 9)$

Étape 11.9

Simplifiez

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Étape 11.9.1

Multipliez $18$ par $8$ .

$(8 x^{4} + 144 x^{2} + 8 \cdot 81) (7 x^{2} + 9)$

Étape 11.9.2

Multipliez $8$ par $81$ .

$(8 x^{4} + 144 x^{2} + 648) (7 x^{2} + 9)$

Étape 11.10

Développez $(8 x^{4} + 144 x^{2} + 648) (7 x^{2} + 9)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$8 x^{4} (7 x^{2}) + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Étape 11.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.11.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 \cdot 7 x^{4} x^{2} + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Étape 11.11.2

Multipliez $x^{4}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.11.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$8 \cdot 7 (x^{2} x^{4}) + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Étape 11.11.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 \cdot 7 x^{2 + 4} + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Étape 11.11.2.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$8 \cdot 7 x^{6} + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Étape 11.11.3

Multipliez $8$ par $7$ .

$56 x^{6} + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Étape 11.11.4

Multipliez $9$ par $8$ .

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Étape 11.11.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 \cdot 7 x^{2} x^{2} + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Étape 11.11.6

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.11.6.1

Déplacez $x^{2}$ .

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 \cdot 7 (x^{2} x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Étape 11.11.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 \cdot 7 x^{2 + 2} + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Étape 11.11.6.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 \cdot 7 x^{4} + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Étape 11.11.7

Multipliez $144$ par $7$ .

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 1008 x^{4} + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Étape 11.11.8

Multipliez $9$ par $144$ .

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 1008 x^{4} + 1296 x^{2} + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

Étape 11.11.9

Multipliez $7$ par $648$ .

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 1008 x^{4} + 1296 x^{2} + 4536 x^{2} + 648 \cdot 9$

Étape 11.11.10

Multipliez $648$ par $9$ .

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 1008 x^{4} + 1296 x^{2} + 4536 x^{2} + 5832$

Étape 11.12

Additionnez $72 x^{4}$ et $1008 x^{4}$ .

$56 x^{6} + 1080 x^{4} + 1296 x^{2} + 4536 x^{2} + 5832$

Étape 11.13

Additionnez $1296 x^{2}$ et $4536 x^{2}$ .

$56 x^{6} + 1080 x^{4} + 5832 x^{2} + 5832$