Calcul infinitésimal Exemples

$x {(1 - 2 x)}^{3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(1 - 2 x)}^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x)}^{3}] + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 1 - 2 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - 2 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 2 x$ .

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.5

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \cdot 1) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.7

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2}) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2}) + {(1 - 2 x)}^{3} \cdot 1$

Étape 3.9

Multipliez ${(1 - 2 x)}^{3}$ par $1$ .

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2}) + {(1 - 2 x)}^{3}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Factorisez ${(1 - 2 x)}^{2}$ à partir de $x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2}) + {(1 - 2 x)}^{3}$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez ${(1 - 2 x)}^{2}$ à partir de $x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2})$ .

${(1 - 2 x)}^{2} (x \cdot (- 6)) + {(1 - 2 x)}^{3}$

Étape 4.1.2

Factorisez ${(1 - 2 x)}^{2}$ à partir de ${(1 - 2 x)}^{3}$ .

${(1 - 2 x)}^{2} (x \cdot (- 6)) + {(1 - 2 x)}^{2} (1 - 2 x)$

Étape 4.1.3

Factorisez ${(1 - 2 x)}^{2}$ à partir de ${(1 - 2 x)}^{2} (x \cdot (- 6)) + {(1 - 2 x)}^{2} (1 - 2 x)$ .

${(1 - 2 x)}^{2} (x \cdot (- 6) + 1 - 2 x)$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Déplacez $- 6$ à gauche de $x$ .

${(1 - 2 x)}^{2} (- 6 \cdot x + 1 - 2 x)$

Étape 4.2.2

Soustrayez $2 x$ de $- 6 x$ .

${(1 - 2 x)}^{2} (- 8 x + 1)$

Étape 4.3

Réécrivez ${(1 - 2 x)}^{2}$ comme $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ .

$(1 - 2 x) (1 - 2 x) (- 8 x + 1)$

Étape 4.4

Développez $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(1 (1 - 2 x) - 2 x (1 - 2 x)) (- 8 x + 1)$

Étape 4.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$(1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x (1 - 2 x)) (- 8 x + 1)$

Étape 4.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$(1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x)) (- 8 x + 1)$

Étape 4.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$(1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x)) (- 8 x + 1)$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 2 x$ par $1$ .

$(1 - 2 x - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x)) (- 8 x + 1)$

Étape 4.5.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$(1 - 2 x - 2 x - 2 x (- 2 x)) (- 8 x + 1)$

Étape 4.5.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x) (- 8 x + 1)$

Étape 4.5.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.1.5.1

Déplacez $x$ .

$(1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x)) (- 8 x + 1)$

Étape 4.5.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x^{2}) (- 8 x + 1)$

Étape 4.5.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$(1 - 2 x - 2 x + 4 x^{2}) (- 8 x + 1)$

Étape 4.5.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$(1 - 4 x + 4 x^{2}) (- 8 x + 1)$

Étape 4.6

Développez $(1 - 4 x + 4 x^{2}) (- 8 x + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$1 (- 8 x) + 1 \cdot 1 - 4 x (- 8 x) - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Étape 4.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.7.1

Multipliez $- 8 x$ par $1$ .

$- 8 x + 1 \cdot 1 - 4 x (- 8 x) - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Étape 4.7.2

Multipliez $1$ par $1$ .

$- 8 x + 1 - 4 x (- 8 x) - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Étape 4.7.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 8 x + 1 - 4 \cdot - 8 x \cdot x - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Étape 4.7.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.7.4.1

Déplacez $x$ .

$- 8 x + 1 - 4 \cdot - 8 (x \cdot x) - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Étape 4.7.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 8 x + 1 - 4 \cdot - 8 x^{2} - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Étape 4.7.5

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Étape 4.7.6

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Étape 4.7.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 1$

Étape 4.7.8

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.7.8.1

Déplacez $x$ .

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1$

Étape 4.7.8.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.7.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1$

Étape 4.7.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot 1$

Étape 4.7.8.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 1$

Étape 4.7.9

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x - 32 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 1$

Étape 4.7.10

Multipliez $4$ par $1$ .

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x - 32 x^{3} + 4 x^{2}$

Étape 4.8

Soustrayez $4 x$ de $- 8 x$ .

$- 12 x + 1 + 32 x^{2} - 32 x^{3} + 4 x^{2}$

Étape 4.9

Additionnez $32 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$- 12 x + 1 - 32 x^{3} + 36 x^{2}$