Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{5}{{(2 x)}^{3}} + 2 \cos (x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{5}{{(2 x)}^{3}} + 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{5}{{(2 x)}^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{{(2 x)}^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{5}{{(2 x)}^{3}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{{(2 (x))}^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.2

Appliquez la règle de produit à $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{2^{3} x^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{8 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.4

Comme $\frac{5}{8}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5}{8 x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.5

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$\frac{5}{8} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{5}{8} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$\frac{5}{8} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{5}{8} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.8

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{8} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.8.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{5}{8} (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.9

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{5}{8} (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.10

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{5}{8} (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.10.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5}{8} (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.10.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$\frac{5}{8} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.11

Associez $- 3$ et $\frac{5}{8}$ .

$\frac{- 3 \cdot 5}{8} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.12

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$\frac{- 15}{8} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.13

Associez $\frac{- 15}{8}$ et $x^{- 4}$ .

$\frac{- 15 x^{- 4}}{8} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.14

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 15}{8 x^{4}} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{15}{8 x^{4}} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- \frac{15}{8 x^{4}} + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \frac{15}{8 x^{4}} + 2 (- \sin (x))$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{15}{8 x^{4}} - 2 \sin (x)$