Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln ({(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ et $g (x) = x^{4} + 5 x^{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{4} + 5 x^{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{4} + 5 x^{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Étape 7

Associez $\frac{3}{2}$ et ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Étape 8

Multipliez $\frac{3 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ par $\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Étape 9

Placez ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Étape 10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1

Multipliez ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ par ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.1.1

Déplacez ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2 ({(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Étape 10.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Étape 10.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{- 1 + 3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Étape 10.1.4

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Étape 10.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{1}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Étape 10.2

Simplifiez $2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{1}$ .

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Étape 11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Étape 12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Étape 13

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + 5 (2 x))$

Étape 15

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + 10 x)$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3}{2 x^{4} + 2 (5 x^{2})} (4 x^{3} + 10 x)$

Étape 16.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{3}{2 x^{4} + 10 x^{2}} (4 x^{3} + 10 x)$

Étape 16.3

Réorganisez les facteurs de $\frac{3}{2 x^{4} + 10 x^{2}} (4 x^{3} + 10 x)$ .

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{4} + 10 x^{2}}$

Étape 16.4

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $2 x^{4} + 10 x^{2}$ .

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Étape 16.4.1

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $2 x^{4}$ .

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{2} (x^{2}) + 10 x^{2}}$

Étape 16.4.2

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $10 x^{2}$ .

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (5)}$

Étape 16.4.3

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (5)$ .

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Étape 16.5

Multipliez $4 x^{3} + 10 x$ par $\frac{3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$ .

$\frac{(4 x^{3} + 10 x) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Étape 16.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.6.1

Factorisez $2 x$ à partir de $4 x^{3} + 10 x$ .

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Étape 16.6.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\frac{(2 x (2 x^{2}) + 10 x) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Étape 16.6.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $10 x$ .

$\frac{(2 x (2 x^{2}) + 2 x (5)) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Étape 16.6.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (2 x^{2}) + 2 x (5)$ .

$\frac{2 x (2 x^{2} + 5) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Étape 16.6.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 x (2 x^{2} + 5)}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Étape 16.7

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 16.7.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x (2 x^{2} + 5)$ .

$\frac{2 (3 x (2 x^{2} + 5))}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Étape 16.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} (x^{2} + 5)$ .

$\frac{2 (3 x (2 x^{2} + 5))}{2 (x^{2} (x^{2} + 5))}$

Étape 16.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 x (2 x^{2} + 5))}{2 (x^{2} (x^{2} + 5))}$

Étape 16.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x (2 x^{2} + 5)}{x^{2} (x^{2} + 5)}$

Étape 16.8

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 16.8.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x (2 x^{2} + 5)$ .

$\frac{x (3 (2 x^{2} + 5))}{x^{2} (x^{2} + 5)}$

Étape 16.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.8.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (x^{2} + 5)$ .

$\frac{x (3 (2 x^{2} + 5))}{x (x (x^{2} + 5))}$

Étape 16.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (3 (2 x^{2} + 5))}{x (x (x^{2} + 5))}$

Étape 16.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (2 x^{2} + 5)}{x (x^{2} + 5)}$