Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (\frac{x}{1 + x^{2}})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{x}{1 + x^{2}}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{x}{1 + x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Étape 2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{x}{1 + x^{2}}$ .

$1 \frac{1 + x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Étape 3

Multipliez $\frac{1 + x^{2}}{x}$ par $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 5.2

Multipliez $1 + x^{2}$ par $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 5.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 5.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 5.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 5.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 10

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 11

Multipliez $\frac{1 + x^{2}}{x}$ par $\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{x {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.1

Factorisez $1 + x^{2}$ à partir de $x {(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{(1 + x^{2}) (x (1 + x^{2}))}$

Étape 12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{(1 + x^{2}) (x (1 + x^{2}))}$

Étape 12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - x^{2}}{x (1 + x^{2})}$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - x^{2}}{x \cdot 1 + x \cdot x^{2}}$

Étape 13.2

Associez des termes.

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Étape 13.2.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{1 - x^{2}}{x + x \cdot x^{2}}$

Étape 13.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.2.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 13.2.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - x^{2}}{x + x^{1} x^{2}}$

Étape 13.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 - x^{2}}{x + x^{1 + 2}}$

Étape 13.2.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1 - x^{2}}{x + x^{3}}$

Étape 13.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} + 1}{x^{3} + x}$