Calcul infinitésimal Exemples

$x e^{\frac{y}{z}}$

Étape 1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x e^{\frac{y}{z}}$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [e^{\frac{y}{z}}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{\frac{y}{z}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = \frac{y}{z}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{y}{z}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{y}{z}$ .

$x (e^{\frac{y}{z}} \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $\frac{1}{z}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{y}{z}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{z} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x e^{\frac{y}{z}} (\frac{1}{z} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 3.2

Associez les fractions.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{z}$ et $x$ .

$\frac{x}{z} e^{\frac{y}{z}} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 3.2.2

Associez $\frac{x}{z}$ et $e^{\frac{y}{z}}$ .

$\frac{x e^{\frac{y}{z}}}{z} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x e^{\frac{y}{z}}}{z} \cdot 1$

Étape 3.4

Multipliez $\frac{x e^{\frac{y}{z}}}{z}$ par $1$ .

$\frac{x e^{\frac{y}{z}}}{z}$