Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{s}{1 + s^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d s} [\frac{f (s)}{g (s)}]$ est $\frac{g (s) \frac{d}{d s} [f (s)] - f (s) \frac{d}{d s} [g (s)]}{{g (s)}^{2}}$ où $f (s) = s$ et $g (s) = 1 + s^{2}$ .

$\frac{(1 + s^{2}) \frac{d}{d s} [s] - s \frac{d}{d s} [1 + s^{2}]}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ est $n s^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(1 + s^{2}) \cdot 1 - s \frac{d}{d s} [1 + s^{2}]}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Multipliez $1 + s^{2}$ par $1$ .

$\frac{1 + s^{2} - s \frac{d}{d s} [1 + s^{2}]}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + s^{2}$ par rapport à $s$ est $\frac{d}{d s} [1] + \frac{d}{d s} [s^{2}]$ .

$\frac{1 + s^{2} - s (\frac{d}{d s} [1] + \frac{d}{d s} [s^{2}])}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Étape 2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $1$ par rapport à $s$ est $0$ .

$\frac{1 + s^{2} - s (0 + \frac{d}{d s} [s^{2}])}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Étape 2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d s} [s^{2}]$ .

$\frac{1 + s^{2} - s \frac{d}{d s} [s^{2}]}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ est $n s^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1 + s^{2} - s (2 s)}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Étape 2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1 + s^{2} - 2 s \cdot s}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Étape 3

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + s^{2} - 2 (s^{1} s)}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Étape 4

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + s^{2} - 2 (s^{1} s^{1})}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 + s^{2} - 2 s^{1 + 1}}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Étape 6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 + s^{2} - 2 s^{2}}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Étape 7

Soustrayez $2 s^{2}$ de $s^{2}$ .

$\frac{1 - s^{2}}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Étape 8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- s^{2} + 1}{{(s^{2} + 1)}^{2}}$