Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x)$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 24$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + \frac{d}{d x} (12 x)$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12 \cdot 1$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 48 x + 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $- 48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 48 x$ par rapport à $x$ est $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $- 48$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.2.4.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 + 0$

Étape 1.1.2.4.2

Additionnez $12 x^{2} - 48$ et $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} - 48$ .

$12 x^{2} - 48$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} - 48 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$12 x^{2} - 48 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $48$ aux deux côtés de l’équation.

$12 x^{2} = 48$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $12 x^{2} = 48$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $12 x^{2} = 48$ par $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{48}{12}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $48$ par $12$ .

$x^{2} = 4$

Étape 1.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 1.2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 1.2.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 1.2.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 1.2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 1.2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 1.2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f'' (- 4) = 12 {(- 4)}^{2} - 48$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = 12 \cdot 16 - 48$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $12$ par $16$ .

$f'' (- 4) = 192 - 48$

Étape 4.2.2

Soustrayez $48$ de $192$ .

$f'' (- 4) = 144$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $144$ .

$144$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, - 2)$ car $f'' (- 4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 2)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 2, 2)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 48$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 48$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $12$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - 48$

Étape 5.2.2

Soustrayez $48$ de $0$ .

$f'' (0) = - 48$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 48$ .

$- 48$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- 2, 2)$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- 2, 2)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = 12 {(4)}^{2} - 48$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = 12 \cdot 16 - 48$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $12$ par $16$ .

$f'' (4) = 192 - 48$

Étape 6.2.2

Soustrayez $48$ de $192$ .

$f'' (4) = 144$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $144$ .

$144$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(2, \infty)$ car $f'' (4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(2, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 2)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- 2, 2)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(2, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8