Calcul infinitésimal Exemples

${(\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)})}^{2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$2 \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}]$

Étape 2

Associez $2$ et $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 1 + \cos (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 6

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 7

Multipliez.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 7.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 8

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 11

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 12

Multipliez $\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)}$ par $\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{2 \sin (x) ((1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{(1 + \cos (x)) {(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 13

Multipliez $1 + \cos (x)$ par ${(1 + \cos (x))}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1

Multipliez $1 + \cos (x)$ par ${(1 + \cos (x))}^{2}$ .

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Étape 13.1.1

Élevez $1 + \cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sin (x) ((1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{1} {(1 + \cos (x))}^{2}}$

Étape 13.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sin (x) ((1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{1 + 2}}$

Étape 13.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 \sin (x) ((1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sin (x) (1 \cos (x) + \cos (x) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

Étape 14.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sin (x) (1 \cos (x)) + 2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

Étape 14.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.3.1

Remettez dans l’ordre $2 \sin (x)$ et $1$ .

$\frac{1 \cdot (2 \sin (x)) \cos (x) + 2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

Étape 14.3.2

Multipliez $1$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

Étape 14.3.3

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\frac{\sin (2 x) + 2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

Étape 14.3.4

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\frac{\sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (x) + 2 \sin (x) \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

Étape 14.3.5

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.3.5.1

Déplacez $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (x) + 2 (\sin^{2} (x) \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

Étape 14.3.5.2

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin (x)$ .

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Étape 14.3.5.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (x) + 2 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

Étape 14.3.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (x) + 2 {\sin (x)}^{2 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

Étape 14.3.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{\sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (x) + 2 \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

Étape 14.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\cos (x) \sin (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$