Calcul infinitésimal Exemples

$y = (9 \sqrt{x} + 8) x^{2}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} + 8$ et $g (x) = x^{2}$ .

$(9 x^{\frac{1}{2}} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(9 x^{\frac{1}{2}} + 8) (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Étape 3.2

Déplacez $2$ à gauche de $9 x^{\frac{1}{2}} + 8$ .

$2 \cdot (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{\frac{1}{2}} + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 3.4

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 8.3

Associez $9$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (\frac{9 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 8.4

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 9

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Étape 10

Associez les fractions.

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Étape 10.1

Additionnez $\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{x^{2} \cdot 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.3.1

Déplacez $9$ à gauche de $x^{2}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 \cdot x^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.3.2

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 11

Multipliez $x^{2}$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})}{2}$

Étape 11.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{- \frac{1}{2} + 2}}{2}$

Étape 11.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}{2}$

Étape 11.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}{2}$

Étape 11.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}{2}$

Étape 11.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}{2}$

Étape 11.6.2

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 12

Associez $2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x$ et $\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ en utilisant un dénominateur commun.

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Étape 12.1

Déplacez $9 x^{\frac{1}{2}} + 8$ .

$2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 12.2

Pour écrire $2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) \cdot \frac{2}{2} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 12.3

Associez $2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8)$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) \cdot 2}{2} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 12.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) \cdot 2 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 13

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x (9 x^{\frac{1}{2}}) + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 14.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 \cdot 9 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 14.2.1.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.2.1.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \cdot 9 (x^{\frac{1}{2}} x) + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 14.2.1.2.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 14.2.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 \cdot 9 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 14.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 \cdot 9 x^{\frac{1}{2} + 1} + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 14.2.1.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{4 \cdot 9 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 14.2.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 \cdot 9 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 14.2.1.2.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{4 \cdot 9 x^{\frac{3}{2}} + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 14.2.1.3

Multipliez $4$ par $9$ .

$\frac{36 x^{\frac{3}{2}} + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 14.2.1.4

Multipliez $8$ par $4$ .

$\frac{36 x^{\frac{3}{2}} + 32 x + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 14.2.2

Additionnez $36 x^{\frac{3}{2}}$ et $9 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{32 x + 45 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 14.3

Factorisez $x$ à partir de $32 x + 45 x^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 14.3.1

Factorisez $x$ à partir de $32 x$ .

$\frac{x \cdot 32 + 45 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 14.3.2

Factorisez $x$ à partir de $45 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x \cdot 32 + x (45 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 14.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 32 + x (45 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x (32 + 45 x^{\frac{1}{2}})}{2}$