Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{8 x}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{d}{d x} [\sqrt{8 x}]$ comme $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2 x}]$ .

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Étape 1.1

Réécrivez $8 x$ comme $2^{2} \cdot (2 x)$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (2) x}]$

Étape 1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot 2 x}]$

Étape 1.1.3

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot (2 x)}]$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2 x}]$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x}$ comme ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4

Appliquez la règle de produit à $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 5

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 7.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 8

Comme $2^{\frac{3}{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 10

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 11

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 13.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 14

Placez le signe moins devant la fraction.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 15

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{3}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 16

Associez $2^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.2

Placez $2^{1}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{- 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18

Multipliez $2^{\frac{3}{2}}$ par $2^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 18.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2^{\frac{3}{2} - 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 18.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2^{\frac{3 - 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.5.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$