Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2 x - 1}{x^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 x - 1$ et $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1] - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1] - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1] - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{x^{2} (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} (2 + 0) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.7.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2 - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.7.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot x^{2} - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 x^{2} - (2 x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 2.9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 (2 x - 1) x}{x^{4}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} + (- 2 (2 x) - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 1 x}{x^{4}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 (2 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 1 x}{x^{4}}$

Étape 3.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot - 1 x}{x^{4}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{x^{4}}$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x^{2} + 2 x}{x^{4}}$

Étape 3.3.2

Soustrayez $4 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x}{x^{4}}$

Étape 3.4

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{2} + 2 x$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x}{x^{4}}$

Étape 3.4.2

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{x^{4}}$

Étape 3.4.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (- x) + 2 x (1)$ .

$\frac{2 x (- x + 1)}{x^{4}}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{4}$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x (- x + 1)$ .

$\frac{x (2 (- x + 1))}{x^{4}}$

Étape 3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x (2 (- x + 1))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (2 (- x + 1))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (- x + 1)}{x^{3}}$

Étape 3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 1)}{x^{3}}$

Étape 3.7

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 1))}{x^{3}}$

Étape 3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x - 1))}{x^{3}}$

Étape 3.9

Réécrivez $- (x - 1)$ comme $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 1))}{x^{3}}$

Étape 3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 (x - 1)}{x^{3}}$