Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{3 \ln (t)}{a t - b t^{2}}$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{3 \ln (t)}{a t - b t^{2}}$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{a t - b t^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{a t - b t^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = \ln (t)$ et $g (t) = a t - b t^{2}$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{d}{d t} [\ln (t)] - \ln (t) \frac{d}{d t} [a t - b t^{2}]}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Étape 3

La dérivée de $\ln (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{t}$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [a t - b t^{2}]}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a t - b t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [a t] + \frac{d}{d t} [- b t^{2}]$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (\frac{d}{d t} [a t] + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Étape 4.2

Comme $a$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $a t$ par rapport à $t$ est $a \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Étape 4.4

Multipliez $a$ par $1$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Étape 4.5

Comme $- b$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- b t^{2}$ par rapport à $t$ est $- b \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - b \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - b (2 t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Étape 4.7

Associez les fractions.

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Étape 4.7.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Étape 4.7.2

Associez $3$ et $\frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$ .

$\frac{3 ((a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (a t \frac{1}{t} - b t^{2} \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (a t \frac{1}{t} - b t^{2} \frac{1}{t} - \ln (t) a - \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (a t \frac{1}{t}) + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.1

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 5.4.1.1.1

Factorisez $t$ à partir de $a t$ .

$\frac{3 (t a \frac{1}{t}) + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (t a \frac{1}{t}) + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 a + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.2

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 5.4.1.2.1

Factorisez $t$ à partir de $- b t^{2}$ .

$\frac{3 a + 3 (t (- b t) \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 a + 3 (t (- b t) \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 a + 3 (- b t) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 a - 3 (b t) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.4

Multipliez $3 (- \ln (t) a)$ .

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Étape 5.4.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 a - 3 b t - 3 (\ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.4.2

Remettez dans l’ordre $\ln (t)$ et $- 3$ .

$\frac{3 a - 3 b t - 3 \cdot \ln (t) a + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.4.3

Simplifiez $- 3 \cdot \ln (t)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.5

Multipliez $- \ln (t) (- 2 b t)$ .

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Étape 5.4.1.5.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 (2 \ln (t) (b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.5.2

Simplifiez $2 \ln (t)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 (\ln (t^{2}) (b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.6

Multipliez $3 (\ln (t^{2}) (b t))$ .

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Étape 5.4.1.6.1

Remettez dans l’ordre $\ln (t^{2})$ et $3$ .

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 \cdot \ln (t^{2}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.6.2

Simplifiez $3 \cdot \ln (t^{2})$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln ({(t^{2})}^{3}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.7

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{3}$ .

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Étape 5.4.1.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln (t^{2 \cdot 3}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln (t^{6}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln (t^{6}) (b t)$ .

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Étape 5.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(a t - t^{2} b)}^{2}}$

Étape 5.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.6.1

Factorisez $t$ à partir de $a t - t^{2} b$ .

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Étape 5.6.1.1

Factorisez $t$ à partir de $a t$ .

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(t a - t^{2} b)}^{2}}$

Étape 5.6.1.2

Factorisez $t$ à partir de $- t^{2} b$ .

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(t a + t (- t b))}^{2}}$

Étape 5.6.1.3

Factorisez $t$ à partir de $t a + t (- t b)$ .

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(t (a - t b))}^{2}}$

Étape 5.6.2

Appliquez la règle de produit à $t (a - t b)$ .

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{t^{2} {(a - t b)}^{2}}$