Calcul infinitésimal Exemples

$\cos^{2} (e^{\cos^{2} (t)})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = \cos (e^{\cos^{2} (t)})$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (e^{\cos^{2} (t)})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cos (e^{\cos^{2} (t)})]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\cos (e^{\cos^{2} (t)})]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (e^{\cos^{2} (t)})$ .

$2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \frac{d}{d t} [\cos (e^{\cos^{2} (t)})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \cos (t)$ et $g (t) = e^{\cos^{2} (t)}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $e^{\cos^{2} (t)}$ .

$2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [e^{\cos^{2} (t)}])$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [e^{\cos^{2} (t)}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{\cos^{2} (t)}$ .

$2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) (- \sin (e^{\cos^{2} (t)}) \frac{d}{d t} [e^{\cos^{2} (t)}])$

Étape 3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) (\sin (e^{\cos^{2} (t)}) \frac{d}{d t} [e^{\cos^{2} (t)}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = \cos^{2} (t)$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $\cos^{2} (t)$ .

$- 2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [\cos^{2} (t)])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ est $a^{u_{3}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [\cos^{2} (t)])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $\cos^{2} (t)$ .

$- 2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) (e^{\cos^{2} (t)} \frac{d}{d t} [\cos^{2} (t)])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = \cos (t)$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{4}$ comme $\cos (t)$ .

$- 2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) e^{\cos^{2} (t)} (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ est $n {u_{4}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) e^{\cos^{2} (t)} (2 u_{4} \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{4}$ par $\cos (t)$ .

$- 2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) e^{\cos^{2} (t)} (2 \cos (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Étape 6

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 4 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) e^{\cos^{2} (t)} (\cos (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Étape 7

La dérivée de $\cos (t)$ par rapport à $t$ est $- \sin (t)$ .

$- 4 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) e^{\cos^{2} (t)} \cos (t) (- \sin (t))$

Étape 8

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$4 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) e^{\cos^{2} (t)} \cos (t) \sin (t)$

Étape 8.2

Réorganisez les facteurs de $4 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) e^{\cos^{2} (t)} \cos (t) \sin (t)$ .

$4 e^{\cos^{2} (t)} \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \cos (t) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (t)$