Calcul infinitésimal Exemples

${(x^{3} - 8)}^{4}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x^{3} - 8$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3} - 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} - 8$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8])$

Étape 2.3

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (3 x^{2} + 0)$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (3 x^{2})$

Étape 2.4.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 {(x^{3} - 8)}^{3} x^{2}$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $12 {(x^{3} - 8)}^{3} x^{2}$ .

$12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3}$