Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} + y^{3} = 12 x y - 8$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (12 x y - 8)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x y - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x y] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x y] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x y]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x y$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$12 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$12 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 3.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$12 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 3.3

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 (x y' + y) + 0$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$12 (x y') + 12 y + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $12 x y' + 12 y$ et $0$ .

$12 x y' + 12 y$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 12 x y' + 12 y$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $12 x y'$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 12 x y' = 12 y$

Étape 5.2

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} y' - 12 x y' = 12 y - 3 x^{2}$

Étape 5.3

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y^{2} y' - 12 x y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 12 x y' = 12 y - 3 x^{2}$

Étape 5.3.2

Factorisez $3 y'$ à partir de $- 12 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 4 x) = 12 y - 3 x^{2}$

Étape 5.3.3

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y' y^{2} + 3 y' (- 4 x)$ .

$3 y' (y^{2} - 4 x) = 12 y - 3 x^{2}$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $3 y' (y^{2} - 4 x) = 12 y - 3 x^{2}$ par $3 (y^{2} - 4 x)$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $3 y' (y^{2} - 4 x) = 12 y - 3 x^{2}$ par $3 (y^{2} - 4 x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 4 x)}{3 (y^{2} - 4 x)} = \frac{12 y}{3 (y^{2} - 4 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y' (y^{2} - 4 x)}{3 (y^{2} - 4 x)} = \frac{12 y}{3 (y^{2} - 4 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y^{2} - 4 x)}{y^{2} - 4 x} = \frac{12 y}{3 (y^{2} - 4 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2} - 4 x$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y^{2} - 4 x)}{y^{2} - 4 x} = \frac{12 y}{3 (y^{2} - 4 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Étape 5.4.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{12 y}{3 (y^{2} - 4 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.1.1

Annulez le facteur commun à $12$ et $3$ .

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Étape 5.4.3.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $12 y$ .

$y' = \frac{3 (4 y)}{3 (y^{2} - 4 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Étape 5.4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 (4 y)}{3 (y^{2} - 4 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Étape 5.4.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{4 y}{y^{2} - 4 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Étape 5.4.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 5.4.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{4 y}{y^{2} - 4 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Étape 5.4.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{4 y}{y^{2} - 4 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 4 x)}$

Étape 5.4.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{4 y}{y^{2} - 4 x} + \frac{- x^{2}}{y^{2} - 4 x}$

Étape 5.4.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{4 y}{y^{2} - 4 x} - \frac{x^{2}}{y^{2} - 4 x}$

Étape 5.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{4 y - x^{2}}{y^{2} - 4 x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y - x^{2}}{y^{2} - 4 x}$