Calcul infinitésimal Exemples

${(e^{x} - e^{- x})}^{2}$

Étape 1

Réécrivez ${(e^{x} - e^{- x})}^{2}$ comme $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ .

$(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$

Étape 2

Développez $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x} (e^{x} - e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x})$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x})$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x})$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{x + x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x})$

Étape 3.1.1.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$e^{2 x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x})$

Étape 3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{2 x} - e^{x} e^{- x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x})$

Étape 3.1.3

Multipliez $e^{x}$ par $e^{- x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.3.1

Déplacez $e^{- x}$ .

$e^{2 x} - (e^{- x} e^{x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x})$

Étape 3.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{2 x} - e^{- x + x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x})$

Étape 3.1.3.3

Additionnez $- x$ et $x$ .

$e^{2 x} - e^{0} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x})$

Étape 3.1.4

Simplifiez $- e^{0}$ .

$e^{2 x} - 1 - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x})$

Étape 3.1.5

Multipliez $e^{- x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.5.1

Déplacez $e^{x}$ .

$e^{2 x} - 1 - (e^{x} e^{- x}) - e^{- x} (- e^{- x})$

Étape 3.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{2 x} - 1 - e^{x - x} - e^{- x} (- e^{- x})$

Étape 3.1.5.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$e^{2 x} - 1 - e^{0} - e^{- x} (- e^{- x})$

Étape 3.1.6

Simplifiez $- e^{0}$ .

$e^{2 x} - 1 - 1 - e^{- x} (- e^{- x})$

Étape 3.1.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x} e^{- x}$

Étape 3.1.8

Multipliez $e^{- x}$ par $e^{- x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.8.1

Déplacez $e^{- x}$ .

$e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- x} e^{- x})$

Étape 3.1.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x - x}$

Étape 3.1.8.3

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x}$

Étape 3.1.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{2 x} - 1 - 1 + 1 e^{- 2 x}$

Étape 3.1.10

Multipliez $e^{- 2 x}$ par $1$ .

$e^{2 x} - 1 - 1 + e^{- 2 x}$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x}$