Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x^{2} + 1) - 3 \ln (x) = \ln (2)$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (x^{2} + 1) - 3 \ln (x) - \ln (2) = 0$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{2} + 1}{2}) - 3 \ln (x) = 0$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $\ln (\frac{x^{2} + 1}{2}) - 3 \ln (x)$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez $- 3 \ln (x)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\ln (\frac{x^{2} + 1}{2}) - \ln (x^{3}) = 0$

Étape 3.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{2} + 1}{2}}{x^{3}}) = 0$

Étape 3.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\ln (\frac{x^{2} + 1}{2} \cdot \frac{1}{x^{3}}) = 0$

Étape 3.1.4

Multipliez $\frac{x^{2} + 1}{2}$ par $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\ln (\frac{x^{2} + 1}{2 x^{3}}) = 0$

Étape 4

Réécrivez $\ln (\frac{x^{2} + 1}{2 x^{3}}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{x^{2} + 1}{2 x^{3}}$

Étape 5

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$x^{2} + 1 = e^{0} (2 x^{3})$

Étape 6

Simplifiez $e^{0} (2 x^{3})$ .

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Étape 6.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{2} + 1 = 1 (2 x^{3})$

Étape 6.2

Multipliez $2 x^{3}$ par $1$ .

$x^{2} + 1 = 2 x^{3}$

Étape 7

Soustrayez $2 x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 1 - 2 x^{3} = 0$

Étape 8

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 x^{3} + x^{2} + 1 = 0$

Étape 8.2

Factorisez $- 2 x^{3} + x^{2} + 1$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 8.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 8.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5$

Étape 8.2.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 8.2.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$- 2 \cdot 1^{3} + 1^{2} + 1$

Étape 8.2.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$- 2 \cdot 1 + 1^{2} + 1$

Étape 8.2.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 + 1^{2} + 1$

Étape 8.2.3.4

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$- 2 + 1 + 1$

Étape 8.2.3.5

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$- 1 + 1$

Étape 8.2.3.6

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$0$

Étape 8.2.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- 2 x^{3} + x^{2} + 1}{x - 1}$

Étape 8.2.5

Divisez $- 2 x^{3} + x^{2} + 1$ par $x - 1$ .

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Étape 8.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Étape 8.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$2 x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Étape 8.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 8.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{3} + 2 x^{2}$

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 8.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Étape 8.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$

Étape 8.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$

Étape 8.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Étape 8.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{2} + x$

			-	$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Étape 8.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$

Étape 8.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	+	$1$

Étape 8.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	+	$1$

Étape 8.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	+	$1$
							-	$x$	+	$1$

Étape 8.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x + 1$

			-	$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$

Étape 8.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$
										$0$

Étape 8.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- 2 x^{2} - x - 1$

Étape 8.2.6

Écrivez $- 2 x^{3} + x^{2} + 1$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 1) (- 2 x^{2} - x - 1) = 0$

Étape 9

Simplifiez $(x - 1) (- 2 x^{2} - x - 1)$ .

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Étape 9.1

Développez $(x - 1) (- 2 x^{2} - x - 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x (- 2 x^{2}) + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 9.2

Simplifiez les termes.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 2 x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 9.2.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.2.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- 2 (x^{2} x) + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 9.2.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 9.2.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 (x^{2} x^{1}) + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 9.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 x^{2 + 1} + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 9.2.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- 2 x^{3} + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 9.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 2 x^{3} - x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 9.2.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.2.1.4.1

Déplacez $x$ .

$- 2 x^{3} - (x \cdot x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 9.2.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 9.2.1.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} - 1 \cdot x - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 9.2.1.6

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} - x - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 9.2.1.7

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{2} - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 9.2.1.8

Multipliez $- 1 (- x)$ .

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Étape 9.2.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{2} + 1 x - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 9.2.1.8.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{2} + x - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 9.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{2} + x + 1 = 0$

Étape 9.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 9.2.2.1

Associez les termes opposés dans $- 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{2} + x + 1$ .

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Étape 9.2.2.1.1

Additionnez $- x$ et $x$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + 0 + 1 = 0$

Étape 9.2.2.1.2

Additionnez $- 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2}$ et $0$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + 1 = 0$

Étape 9.2.2.2

Additionnez $- x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$- 2 x^{3} + x^{2} + 1 = 0$

Étape 10

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 10.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{3} + x^{2} + 1$ .

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Étape 10.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$- (2 x^{3}) + x^{2} + 1 = 0$

Étape 10.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $x^{2}$ .

$- (2 x^{3}) - 1 (- x^{2}) + 1 = 0$

Étape 10.1.3

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$- (2 x^{3}) - 1 (- x^{2}) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 10.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{3}) - 1 (- x^{2})$ .

$- (2 x^{3} - x^{2}) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 10.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{3} - x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$- (2 x^{3} - x^{2} - 1) = 0$

Étape 10.2

Factorisez.

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Étape 10.2.1

Factorisez $2 x^{3} - x^{2} - 1$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 10.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 10.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5$

Étape 10.2.1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 10.2.1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$2 \cdot 1^{3} - 1^{2} - 1$

Étape 10.2.1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot 1 - 1^{2} - 1$

Étape 10.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 - 1^{2} - 1$

Étape 10.2.1.3.4

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$2 - 1 \cdot 1 - 1$

Étape 10.2.1.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 - 1 - 1$

Étape 10.2.1.3.6

Soustrayez $1$ de $2$ .

$1 - 1$

Étape 10.2.1.3.7

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0$

Étape 10.2.1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 1}{x - 1}$

Étape 10.2.1.5

Divisez $2 x^{3} - x^{2} - 1$ par $x - 1$ .

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Étape 10.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Étape 10.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Étape 10.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 10.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} - 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 10.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Étape 10.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$

Étape 10.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$

Étape 10.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Étape 10.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} - x$

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Étape 10.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$

Étape 10.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	-	$1$

Étape 10.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	-	$1$

Étape 10.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

Étape 10.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x - 1$

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

Étape 10.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

Étape 10.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} + x + 1$

Étape 10.2.1.6

Écrivez $2 x^{3} - x^{2} - 1$ comme un ensemble de facteurs.

$- ((x - 1) (2 x^{2} + x + 1)) = 0$

Étape 10.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 1) (2 x^{2} + x + 1) = 0$

Étape 11

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$2 x^{2} + x + 1 = 0$

Étape 12

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 12.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 13

Définissez $2 x^{2} + x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $2 x^{2} + x + 1$ égal à $0$ .

$2 x^{2} + x + 1 = 0$

Étape 13.2

Résolvez $2 x^{2} + x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 13.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 13.2.2

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 13.2.3

Simplifiez

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Étape 13.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 13.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 13.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 13.2.3.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 13.2.3.1.3

Soustrayez $8$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

Étape 13.2.3.1.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Étape 13.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (7)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Étape 13.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Étape 13.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{4}$

Étape 13.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{4}$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 1) (2 x^{2} + x + 1) = 0$ vraie.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{7}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{4}$