Calcul infinitésimal Exemples

Trouver l'aire entre les courbes x=-2 , x=1 , y=2x , y=x^2-3
, , ,
Étape 1
Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.
Étape 1.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.3
Factorisez le côté gauche de l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.1
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.1.1
Remettez dans l’ordre et .
Étape 1.2.3.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.3.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.3.1.4
Réécrivez comme .
Étape 1.2.3.1.5
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.3.1.6
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.3.2
Factorisez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.2.1
Factorisez à l’aide de la méthode AC.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.2.1.1
Étudiez la forme . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est et dont la somme est . Dans ce cas, dont le produit est et dont la somme est .
Étape 1.2.3.2.1.2
Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.
Étape 1.2.3.2.2
Supprimez les parenthèses inutiles.
Étape 1.2.4
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 1.2.5
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.1
Définissez égal à .
Étape 1.2.5.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.6
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.1
Définissez égal à .
Étape 1.2.6.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.7
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 1.3
Évaluez quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1
Remplacez par .
Étape 1.3.2
Remplacez par dans et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.2.1
Supprimez les parenthèses.
Étape 1.3.2.2
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.2.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.3.2.2.2
Soustrayez de .
Étape 1.4
Évaluez quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1
Remplacez par .
Étape 1.4.2
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.4.2.2
Soustrayez de .
Étape 1.5
La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.
Étape 2
L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.
Étape 3
Intégrez pour déterminer l’aire entre et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Associez les intégrales en une intégrale unique.
Étape 3.2
Multipliez par .
Étape 3.3
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 3.4
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 3.5
Appliquez la règle de la constante.
Étape 3.6
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 3.7
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 3.8
Simplifiez la réponse.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.8.1
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.8.1.1
Associez et .
Étape 3.8.1.2
Associez et .
Étape 3.8.2
Remplacez et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.8.2.1
Évaluez sur et sur .
Étape 3.8.2.2
Évaluez sur et sur .
Étape 3.8.2.3
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.8.2.3.1
Élevez à la puissance .
Étape 3.8.2.3.2
Associez et .
Étape 3.8.2.3.3
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 3.8.2.3.4
Multipliez par .
Étape 3.8.2.3.5
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 3.8.2.3.6
Associez et .
Étape 3.8.2.3.7
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 3.8.2.3.8
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.8.2.3.8.1
Multipliez par .
Étape 3.8.2.3.8.2
Additionnez et .
Étape 3.8.2.3.9
Élevez à la puissance .
Étape 3.8.2.3.10
Associez et .
Étape 3.8.2.3.11
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 3.8.2.3.12
Multipliez par .
Étape 3.8.2.3.13
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 3.8.2.3.14
Associez et .
Étape 3.8.2.3.15
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 3.8.2.3.16
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.8.2.3.16.1
Multipliez par .
Étape 3.8.2.3.16.2
Additionnez et .
Étape 3.8.2.3.17
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 3.8.2.3.18
Soustrayez de .
Étape 3.8.2.3.19
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 3.8.2.3.20
Élevez à la puissance .
Étape 3.8.2.3.21
Élevez à la puissance .
Étape 3.8.2.3.22
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.8.2.3.22.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.8.2.3.22.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.8.2.3.22.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.8.2.3.22.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 3.8.2.3.22.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 3.8.2.3.22.2.4
Divisez par .
Étape 3.8.2.3.23
Multipliez par .
Étape 3.8.2.3.24
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 3.8.2.3.25
Associez et .
Étape 3.8.2.3.26
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 3.8.2.3.27
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.8.2.3.27.1
Multipliez par .
Étape 3.8.2.3.27.2
Soustrayez de .
Étape 3.8.2.3.28
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 3.8.2.3.29
Multipliez par .
Étape 3.8.2.3.30
Associez et .
Étape 3.8.2.3.31
Multipliez par .
Étape 3.8.2.3.32
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.8.2.3.32.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.8.2.3.32.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.8.2.3.32.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.8.2.3.32.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 3.8.2.3.32.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 3.8.2.3.32.2.4
Divisez par .
Étape 3.8.2.3.33
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 3.8.2.3.34
Associez et .
Étape 3.8.2.3.35
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 3.8.2.3.36
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.8.2.3.36.1
Multipliez par .
Étape 3.8.2.3.36.2
Additionnez et .
Étape 4
L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.
Étape 5
Intégrez pour déterminer l’aire entre et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Associez les intégrales en une intégrale unique.
Étape 5.2
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.2
Multipliez par .
Étape 5.3
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 5.4
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 5.5
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 5.6
Associez et .
Étape 5.7
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 5.8
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 5.9
Associez et .
Étape 5.10
Appliquez la règle de la constante.
Étape 5.11
Remplacez et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.11.1
Évaluez sur et sur .
Étape 5.11.2
Évaluez sur et sur .
Étape 5.11.3
Évaluez sur et sur .
Étape 5.11.4
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.11.4.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 5.11.4.2
Élevez à la puissance .
Étape 5.11.4.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 5.11.4.4
Soustrayez de .
Étape 5.11.4.5
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.11.4.5.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.11.4.5.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.11.4.5.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.11.4.5.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 5.11.4.5.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 5.11.4.5.2.4
Divisez par .
Étape 5.11.4.6
Multipliez par .
Étape 5.11.4.7
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 5.11.4.8
Élevez à la puissance .
Étape 5.11.4.9
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 5.11.4.10
Multipliez par .
Étape 5.11.4.11
Multipliez par .
Étape 5.11.4.12
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 5.11.4.13
Additionnez et .
Étape 5.11.4.14
Soustrayez de .
Étape 5.11.4.15
Multipliez par .
Étape 5.11.4.16
Multipliez par .
Étape 5.11.4.17
Additionnez et .
Étape 5.11.4.18
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 5.11.4.19
Associez et .
Étape 5.11.4.20
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 5.11.4.21
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.11.4.21.1
Multipliez par .
Étape 5.11.4.21.2
Additionnez et .
Étape 6
Additionnez les aires .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 6.2
Additionnez et .
Étape 7