Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x}{\ln (x)}$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Déterminez où l’expression $\frac{x}{\ln (x)}$ est indéfinie.

$x \leq 0, x = 1$

Étape 1.2

Comme $\frac{x}{\ln (x)}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $1$ depuis la gauche et $\frac{x}{\ln (x)}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $1$ depuis la droite, $x = 1$ est une asymptote verticale.

$x = 1$

Étape 1.3

Comme la limite n’existe pas, il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 1.4

Aucune asymptote oblique n’est présente pour les fonctions logarithmiques et trigonométriques.

Aucune asymptote oblique

Étape 1.5

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 1$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes verticales : $x = 1$

Aucune asymptote horizontale

Étape 2

Déterminez le point sur $x = 2$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \frac{2}{\ln (2)}$

Étape 2.2

La réponse finale est $\frac{2}{\ln (2)}$ .

$\frac{2}{\ln (2)}$

Étape 2.3

Convertissez $\frac{2}{\ln (2)}$ en décimale.

$y = 2.88539008$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = 3$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \frac{3}{\ln (3)}$

Étape 3.2

La réponse finale est $\frac{3}{\ln (3)}$ .

$\frac{3}{\ln (3)}$

Étape 3.3

Convertissez $\frac{3}{\ln (3)}$ en décimale.

$y = 2.73071767$

Étape 4

Déterminez le point sur $x = 4$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = \frac{4}{\ln (4)}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $\ln (4)$ comme $\ln (2^{2})$ .

$f (4) = \frac{4}{\ln (2^{2})}$

Étape 4.2.2

Développez $\ln (2^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$f (4) = \frac{4}{2 \ln (2)}$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \ln (2)}$

Étape 4.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \ln (2)$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 (\ln (2))}$

Étape 4.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \ln (2)}$

Étape 4.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (4) = \frac{2}{\ln (2)}$

Étape 4.2.4

La réponse finale est $\frac{2}{\ln (2)}$ .

$\frac{2}{\ln (2)}$

Étape 4.3

Convertissez $\frac{2}{\ln (2)}$ en décimale.

$y = 2.88539008$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = 1$ et les points $(2, 2.88539008), (3, 2.73071767), (4, 2.88539008)$ .

Asymptote verticale : $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 2.885 \\ 3 & 2.731 \\ 4 & 2.885 \end{array}$

Étape 6