Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{x \ln (x)}$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Déterminez où l’expression $\frac{1}{x \ln (x)}$ est indéfinie.

$x \leq 0, x = 1$

Étape 1.2

Comme $\frac{1}{x \ln (x)}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la gauche et $\frac{1}{x \ln (x)}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la droite, $x = 0$ est une asymptote verticale.

$x = 0$

Étape 1.3

Comme $\frac{1}{x \ln (x)}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $1$ depuis la gauche et $\frac{1}{x \ln (x)}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $1$ depuis la droite, $x = 1$ est une asymptote verticale.

$x = 1$

Étape 1.4

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$x = 0, 1$

Étape 1.5

Ignorez le logarithme et étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 1.6

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 0$

$m = 1$

Étape 1.7

Comme $n < m$ , l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

$y = 0$

Étape 1.8

Aucune asymptote oblique n’est présente pour les fonctions logarithmiques et trigonométriques.

Aucune asymptote oblique

Étape 1.9

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 0, 1$

Asymptotes horizontales : $y = 0$

Asymptotes verticales : $x = 0, 1$

Asymptotes horizontales : $y = 0$

Étape 2

Déterminez le point sur $x = 2$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \frac{1}{(2) \ln (2)}$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $2 \ln (2)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f (2) = \frac{1}{\ln (2^{2})}$

Étape 2.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = \frac{1}{\ln (4)}$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{\ln (4)}$ .

$\frac{1}{\ln (4)}$

Étape 2.3

Convertissez $\frac{1}{\ln (4)}$ en décimale.

$y = 0.72134752$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = 3$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \frac{1}{(3) \ln (3)}$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $3 \ln (3)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$f (3) = \frac{1}{\ln (3^{3})}$

Étape 3.2.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (3) = \frac{1}{\ln (27)}$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{\ln (27)}$ .

$\frac{1}{\ln (27)}$

Étape 3.3

Convertissez $\frac{1}{\ln (27)}$ en décimale.

$y = 0.30341307$

Étape 4

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = 0, 1$ et les points $(2, 0.72134752), (3, 0.30341307)$ .

Asymptote verticale : $x = 0, 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 0.721 \\ 3 & 0.303 \end{array}$

Étape 5