Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\sec (x))$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Pour tout $y = \sec (x)$ , des asymptotes verticales se trouvent sur $x = \frac{π}{2} + n π$ , où $n$ est un entier. Utilisez la période de base pour $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , afin de déterminer les asymptotes verticales pour $y = \ln (\sec (x))$ . Définissez l’intérieur de la fonction sécante, $b x + c$ , pour $y = a \sec (b x + c) + d$ égal à $- \frac{π}{2}$ afin de déterminer où l’asymptote verticale se situe pour $y = \ln (\sec (x))$ .

$\sec (x) = - \frac{π}{2}$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$x = arcsec (- \frac{π}{2})$

Étape 1.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.1

Évaluez $arcsec (- \frac{π}{2})$ .

$x = 2.26090341$

Étape 1.2.3

La fonction sécante est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) - 2.26090341$

Étape 1.2.4

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 2 (3.14159265) - 2.26090341$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez $2 (3.14159265) - 2.26090341$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.26090341$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $2.26090341$ de $6.2831853$ .

$x = 4.02228188$

Étape 1.2.5

Déterminez la période de $\sec (x)$ .

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Étape 1.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.2.6

La période de la fonction $\sec (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Définissez l’intérieur de la fonction sécante $\sec (x)$ égal à $\frac{3 π}{2}$ .

$\sec (x) = \frac{3 π}{2}$

Étape 1.4

Résolvez $x$ .

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Étape 1.4.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$x = arcsec (\frac{3 π}{2})$

Étape 1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.2.1

Évaluez $arcsec (\frac{3 π}{2})$ .

$x = 1.3569639$

Étape 1.4.3

La fonction sécante est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) - 1.3569639$

Étape 1.4.4

Résolvez $x$ .

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Étape 1.4.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 2 (3.14159265) - 1.3569639$

Étape 1.4.4.2

Simplifiez $2 (3.14159265) - 1.3569639$ .

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Étape 1.4.4.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.3569639$

Étape 1.4.4.2.2

Soustrayez $1.3569639$ de $6.2831853$ .

$x = 4.9262214$

Étape 1.4.5

Déterminez la période de $\sec (x)$ .

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Étape 1.4.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.4.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.4.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.4.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.4.6

La période de la fonction $\sec (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.5

La période de base pour $y = \ln (\sec (x))$ se produit sur $(2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n, 1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n)$ , où $2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n$ et $1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n$ sont des asymptotes verticales.

$(2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n, 1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n)$

Étape 1.6

Déterminez la période $\frac{2 π}{| b |}$ pour déterminer où les asymptotes verticales existent. Des asymptotes verticales apparaissent chaque demi-période.

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Étape 1.6.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.6.2

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.7

Les asymptotes verticales pour $y = \ln (\sec (x))$ se produisent sur $2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n$ , $1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n$ et chaque $π n$ , où $n$ est un entier. C’est la moitié de la période.

$π n$

Étape 1.8

Il n’y a que des asymptotes verticales pour les fonctions sécante et cosécante.

Asymptotes verticales : $x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n + π n$ pour tout entier $n$

Aucune asymptote horizontale

Aucune asymptote oblique

Asymptotes verticales : $x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n + π n$ pour tout entier $n$

Aucune asymptote horizontale

Aucune asymptote oblique

Étape 2

Déterminez le point sur $x = 1$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \ln (\sec (1))$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Évaluez $\sec (1)$ .

$f (1) = \ln (1.85081571)$

Étape 2.2.2

La réponse finale est $\ln (1.85081571)$ .

$\ln (1.85081571)$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = 5$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = \ln (\sec (5))$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Évaluez $\sec (5)$ .

$f (5) = \ln (3.52532008)$

Étape 3.2.2

La réponse finale est $\ln (3.52532008)$ .

$\ln (3.52532008)$

Étape 4

Déterminez le point sur $x = 6$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f (6) = \ln (\sec (6))$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Évaluez $\sec (6)$ .

$f (6) = \ln (1.04148192)$

Étape 4.2.2

La réponse finale est $\ln (1.04148192)$ .

$\ln (1.04148192)$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n + π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$ et les points $(1, 0.61562647), (5, 1.25997123), (6, 0.04064462)$ .

Asymptote verticale : $x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n + π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.616 \\ 5 & 1.26 \\ 6 & 0.041 \end{array}$

Étape 6