Calcul infinitésimal Exemples

$y = 1 - x^{2}$ , $y = 0$

Étape 1

Pour déterminer le volume du solide, commencez par définir l’aire de chaque coupe, puis intégrez sur la plage. L’aire de chaque coupe est l’aire d’un cercle avec un rayon de $f (x)$ et $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 1}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ où $f (x) = - x^{2} + 1$

Étape 2

Simplifiez l’intégrande.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ comme $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ .

$V = (- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$

Étape 2.2

Développez $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$V = - x^{2} (- x^{2} + 1) + 1 (- x^{2} + 1)$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2} + 1)$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{4}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$V = 1 x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.6

Multipliez $- x^{2}$ par $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.7

Multipliez $1$ par $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1$

Étape 2.3.2

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$V = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$V = π (\int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Étape 5

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Étape 6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Étape 8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Associez $\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}$ et $x]_{- 1}^{1}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5} + x]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

Étape 10.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.2.1

Évaluez $\frac{x^{5}}{5} + x$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

Étape 10.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3

Simplifiez

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Étape 10.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$V = π (\frac{1}{5} + 1 - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$V = π (\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (\frac{1 + 5}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.4

Additionnez $1$ et $5$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.5

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (\frac{- 1}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.8

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.3.10.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 1 - 5}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.10.2

Soustrayez $5$ de $- 1$ .

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$V = π (\frac{6}{5} + \frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.12

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$V = π (\frac{6}{5} + 1 (\frac{6}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.13

Multipliez $\frac{6}{5}$ par $1$ .

$V = π (\frac{6}{5} + \frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (\frac{6 + 6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.15

Additionnez $6$ et $6$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.16

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Étape 10.2.3.17

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}))$

Étape 10.2.3.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

Étape 10.2.3.19

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})))$

Étape 10.2.3.20

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

Étape 10.2.3.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 \frac{1 + 1}{3})$

Étape 10.2.3.22

Additionnez $1$ et $1$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{2}{3}))$

Étape 10.2.3.23

Associez $- 2$ et $\frac{2}{3}$ .

$V = π (\frac{12}{5} + \frac{- 2 \cdot 2}{3})$

Étape 10.2.3.24

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$V = π (\frac{12}{5} + \frac{- 4}{3})$

Étape 10.2.3.25

Placez le signe moins devant la fraction.

$V = π (\frac{12}{5} - \frac{4}{3})$

Étape 10.2.3.26

Pour écrire $\frac{12}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{12}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3})$

Étape 10.2.3.27

Pour écrire $- \frac{4}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{12}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Étape 10.2.3.28

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.2.3.28.1

Multipliez $\frac{12}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Étape 10.2.3.28.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Étape 10.2.3.28.3

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Étape 10.2.3.28.4

Multipliez $3$ par $5$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4 \cdot 5}{15})$

Étape 10.2.3.29

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (\frac{12 \cdot 3 - 4 \cdot 5}{15})$

Étape 10.2.3.30

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.3.30.1

Multipliez $12$ par $3$ .

$V = π (\frac{36 - 4 \cdot 5}{15})$

Étape 10.2.3.30.2

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$V = π (\frac{36 - 20}{15})$

Étape 10.2.3.30.3

Soustrayez $20$ de $36$ .

$V = π (\frac{16}{15})$

Étape 10.2.3.31

Associez $π$ et $\frac{16}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 16}{15}$

Étape 10.2.3.32

Déplacez $16$ à gauche de $π$ .

$V = \frac{16 π}{15}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$V = \frac{16 π}{15}$

Forme décimale :

$V = 3.35103216 \dots$

Étape 12