Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{\frac{5}{4}}$ , $y = 3 x^{\frac{1}{4}}$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$x^{\frac{5}{4}} = 3 x^{\frac{1}{4}}$

Étape 1.2

Résolvez $x^{\frac{5}{4}} = 3 x^{\frac{1}{4}}$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Éliminez les exposants fractionnels en multipliant les deux exposants par le plus petit dénominateur commun.

${(x^{\frac{5}{4}})}^{4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Étape 1.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{5}{4}})}^{4}$ .

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{5}{4} \cdot 4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Étape 1.2.2.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{5}{4} \cdot 4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Étape 1.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{5} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Étape 1.2.3

Simplifiez ${(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 1.2.3.1

Appliquez la règle de produit à $3 x^{\frac{1}{4}}$ .

$x^{5} = 3^{4} {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Étape 1.2.3.2

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$x^{5} = 81 {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Étape 1.2.3.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 1.2.3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{5} = 81 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}$

Étape 1.2.3.3.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{5} = 81 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}$

Étape 1.2.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{5} = 81 x^{1}$

Étape 1.2.3.4

Simplifiez

$x^{5} = 81 x$

Étape 1.2.4

Soustrayez $81 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{5} - 81 x = 0$

Étape 1.2.5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5} - 81 x$ .

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Étape 1.2.5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - 81 x = 0$

Étape 1.2.5.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 81 x$ .

$x \cdot x^{4} + x \cdot - 81 = 0$

Étape 1.2.5.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{4} + x \cdot - 81$ .

$x (x^{4} - 81) = 0$

Étape 1.2.5.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

Étape 1.2.5.3

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

Étape 1.2.5.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 9$ .

$x ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

Étape 1.2.5.5

Factorisez.

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Étape 1.2.5.5.1

Simplifiez

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Étape 1.2.5.5.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Étape 1.2.5.5.1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.5.5.1.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$x ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Étape 1.2.5.5.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Étape 1.2.5.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

Étape 1.2.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0 + y = 3 x^{\frac{1}{4}}$

Étape 1.2.7

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.8

Définissez $x^{2} + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.8.1

Définissez $x^{2} + 9$ égal à $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Étape 1.2.8.2

Résolvez $x^{2} + 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.8.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 9$

Étape 1.2.8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Étape 1.2.8.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Étape 1.2.8.2.3.1

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Étape 1.2.8.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (9)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Étape 1.2.8.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Étape 1.2.8.2.3.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Étape 1.2.8.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 3$

Étape 1.2.8.2.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Étape 1.2.8.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.8.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3 i$

Étape 1.2.8.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3 i$

Étape 1.2.8.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3 i, - 3 i$

Étape 1.2.9

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.9.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 1.2.9.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 1.2.10

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.10.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 1.2.10.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 1.2.11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 0$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$y = 3 {(0)}^{\frac{1}{4}}$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans $y = 3 {(0)}^{\frac{1}{4}}$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 3 \cdot 0^{\frac{1}{4}}$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez $3 \cdot 0^{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 1.3.2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{4}$ .

$y = 3 \cdot {(0^{4})}^{\frac{1}{4}}$

Étape 1.3.2.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3 \cdot 0^{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.3.2.2.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = 3 \cdot 0^{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.3.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = 3 \cdot 0^{1}$

Étape 1.3.2.2.3

Évaluez l’exposant.

$y = 3 \cdot 0$

Étape 1.3.2.2.4

Multipliez $3$ par $0$ .

$y = 0$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = 3 i$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $3 i$ .

$y = 3 {(3 i)}^{\frac{1}{4}}$

Étape 1.4.2

Simplifiez $3 {(3 i)}^{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 1.4.2.1

Appliquez la règle de produit à $3 i$ .

$y = 3 (3^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}})$

Étape 1.4.2.2

Multipliez $3$ par $3^{\frac{1}{4}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.2.2.1

Déplacez $3^{\frac{1}{4}}$ .

$y = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 3 i^{\frac{1}{4}}$

Étape 1.4.2.2.2

Multipliez $3^{\frac{1}{4}}$ par $3$ .

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Étape 1.4.2.2.2.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$y = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{1} i^{\frac{1}{4}}$

Étape 1.4.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = 3^{\frac{1}{4} + 1} i^{\frac{1}{4}}$

Étape 1.4.2.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = 3^{\frac{1}{4} + \frac{4}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

Étape 1.4.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = 3^{\frac{1 + 4}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

Étape 1.4.2.2.5

Additionnez $1$ et $4$ .

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

Étape 1.5

Évaluez $y$ quand $x = - 3 i$ .

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Étape 1.5.1

Remplacez $x$ par $- 3 i$ .

$y = 3 {(- 3 i)}^{\frac{1}{4}}$

Étape 1.5.2

Appliquez la règle de produit à $- 3 i$ .

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

Étape 1.6

Remplacez $x$ par $- 3$ .

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}$

Étape 1.7

Évaluez $y$ quand $x = 3$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez $x$ par $3$ .

$y = 3 {(3)}^{\frac{1}{4}}$

Étape 1.7.2

Remplacez $x$ par $3$ dans $y = 3 {(3)}^{\frac{1}{4}}$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.7.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 3 \cdot 3^{\frac{1}{4}}$

Étape 1.7.2.2

Multipliez $3$ par $3^{\frac{1}{4}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.2.2.1

Multipliez $3$ par $3^{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 1.7.2.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$y = 3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{4}}$

Étape 1.7.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = 3^{1 + \frac{1}{4}}$

Étape 1.7.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = 3^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

Étape 1.7.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = 3^{\frac{4 + 1}{4}}$

Étape 1.7.2.2.4

Additionnez $4$ et $1$ .

$y = 3^{\frac{5}{4}}$

Étape 1.8

Indiquez toutes les solutions.

$y = 0, x = 0$

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = - 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}, x = - 3$

$y = 3^{\frac{5}{4}}, x = 3$

$y = 0, x = 0$

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = - 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}, x = - 3$

$y = 3^{\frac{5}{4}}, x = 3$

Étape 2

La surface entre les courbes données n’est pas délimitée.

Aire non délimitée

Étape 3