Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - x}{x^{3}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.1.2.3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\tan (0) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.1.2.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\tan (0) + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.4.1

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.1.2.4.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Étape 1.1.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - x}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\tan (x) - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{3 x^{2}}$

Étape 2

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{x^{2}}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 1 + \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 3.1.2.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 3.1.2.1.3

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 3.1.2.1.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 3.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + \sec^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.3.1

Remettez dans l’ordre $- 1$ et $\sec^{2} (0)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sec^{2} (0) - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 3.1.2.3.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\tan^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 3.1.2.3.3

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 3.1.2.3.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Étape 3.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Étape 3.1.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + \sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + \sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 1 + \sec^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

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Étape 3.3.4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (x)$ .

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Étape 3.3.4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sec (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.4.2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.4.3

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.4.4

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.5

Simplifiez

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Étape 3.3.5.1

Additionnez $0$ et $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.5.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.5.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.5.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.5.5

Associez $2$ et $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.5.6

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.5.7

Associez.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.5.8

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.5.8.1

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ .

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Étape 3.3.5.8.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.5.8.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.5.8.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}}{2 x}$

Étape 3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} \cdot \frac{1}{2 x}$

Étape 3.5

Multipliez $\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}$ par $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x) \cdot 2 x}$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x) \cdot 2 x}$

Étape 3.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x) (x)}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (x)}$

Étape 4.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 4.1.2.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (x)}$

Étape 4.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (x)}$

Étape 4.1.2.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (x)}$

Étape 4.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.3.2

Déplacez l’exposant $3$ de $\cos^{3} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3} \cdot lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.3.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1.3.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos^{3} (0) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.3.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos^{3} (0) \cdot 0}$

Étape 4.1.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1.3.5.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1^{3} \cdot 0}$

Étape 4.1.3.5.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 \cdot 0}$

Étape 4.1.3.5.3

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 4.1.3.5.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 4.1.3.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 4.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x) (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (x)]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (x)]}$

Étape 4.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (x)]}$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos^{3} (x)$ et $g (x) = x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Étape 4.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Étape 4.3.5

Multipliez $\cos^{3} (x)$ par $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Étape 4.3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 4.3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 4.3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \cdot 3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 4.3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \cdot 3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 4.3.7

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \cdot 3 \cos^{2} (x) \cdot - 1 \sin (x)}$

Étape 4.3.8

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \cdot - 3 \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Étape 4.3.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{- 3 x \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} - 3 x \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 3 x \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x)}$

Étape 5.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 3 x \cos^{2} (x) \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

Étape 5.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cos^{2} (x) \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

Étape 5.5

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

Étape 5.6

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

Étape 5.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

Étape 5.8

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

Étape 5.9

Déplacez l’exposant $3$ de $\cos^{3} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3}}$

Étape 5.10

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 3 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 6.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 3 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 6.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 3 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 6.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 3 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 3 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

Étape 7.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

Étape 7.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot 1^{2} \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

Étape 7.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot 1 \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

Étape 7.2.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

Étape 7.2.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot 0 + \cos^{3} (0)}$

Étape 7.2.6

Multipliez $0$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + \cos^{3} (0)}$

Étape 7.2.7

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + 1^{3}}$

Étape 7.2.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + 1}$

Étape 7.2.9

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Étape 7.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Étape 7.4

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{3}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{3}$

Forme décimale :

$0.\overline{3}$