Calcul infinitésimal Exemples

Évaluer la limite limite lorsque x approche de 0 de (sin(2x))/(sin(5x))
Étape 1
Multipliez le numérateur et le dénominateur par .
Étape 2
Multipliez le numérateur et le dénominateur par .
Étape 3
Séparez les fractions.
Étape 4
Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 5
La limite de lorsque approche de est .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 5.1.2
Évaluez la limite du numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1.2.1
Évaluez la limite.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1.2.1.1
Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.
Étape 5.1.2.1.2
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 5.1.2.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 5.1.2.3
Simplifiez la réponse.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1.2.3.1
Multipliez par .
Étape 5.1.2.3.2
La valeur exacte de est .
Étape 5.1.3
Évaluez la limite du dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1.3.1
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 5.1.3.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 5.1.3.3
Multipliez par .
Étape 5.1.3.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 5.1.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 5.2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 5.3
Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 5.3.2
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.2.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 5.3.2.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 5.3.2.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 5.3.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 5.3.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 5.3.5
Multipliez par .
Étape 5.3.6
Déplacez à gauche de .
Étape 5.3.7
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 5.3.8
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 5.3.9
Multipliez par .
Étape 5.4
Évaluez la limite.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.4.1.2
Divisez par .
Étape 5.4.2
Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.
Étape 5.4.3
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 5.5
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 5.6
Simplifiez la réponse.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.1
Multipliez par .
Étape 5.6.2
La valeur exacte de est .
Étape 6
La limite de lorsque approche de est .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 6.1.2
Évaluez la limite du numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1.2.1
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 6.1.2.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 6.1.2.3
Multipliez par .
Étape 6.1.3
Évaluez la limite du dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1.3.1
Évaluez la limite.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1.3.1.1
Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.
Étape 6.1.3.1.2
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 6.1.3.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 6.1.3.3
Simplifiez la réponse.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1.3.3.1
Multipliez par .
Étape 6.1.3.3.2
La valeur exacte de est .
Étape 6.1.3.3.3
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 6.1.3.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 6.1.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 6.2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 6.3
Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 6.3.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 6.3.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 6.3.4
Multipliez par .
Étape 6.3.5
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.3.5.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 6.3.5.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 6.3.5.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 6.3.6
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 6.3.7
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 6.3.8
Multipliez par .
Étape 6.3.9
Déplacez à gauche de .
Étape 6.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 6.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 6.5
Convertissez de à .
Étape 6.6
Évaluez la limite.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.6.1
Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.
Étape 6.6.2
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 6.7
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 6.8
Simplifiez la réponse.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.8.1
Multipliez par .
Étape 6.8.2
La valeur exacte de est .
Étape 7
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.1
Annulez le facteur commun.
Étape 7.2
Réécrivez l’expression.
Étape 8
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 9
Simplifiez la réponse.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1
Multipliez par .
Étape 9.2
Multipliez par .
Étape 10
Le résultat peut être affiché en différentes formes.
Forme exacte :
Forme décimale :