Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2} + x}$

Étape 1

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 1.1

Associez des termes.

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Étape 1.1.1

Pour écrire $\frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} + x}{x^{2} + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x}{x^{2} + x} - \frac{1}{x^{2} + x}$

Étape 1.1.2

Pour écrire $- \frac{1}{x^{2} + x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x}{x^{2} + x} - \frac{1}{x^{2} + x} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 1.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (x^{2} + x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{x^{2} + x}{x^{2} + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + x}{x (x^{2} + x)} - \frac{1}{x^{2} + x} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $\frac{1}{x^{2} + x}$ par $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + x}{x (x^{2} + x)} - \frac{x}{(x^{2} + x) x}$

Étape 1.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x^{2} + x) x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + x}{x (x^{2} + x)} - \frac{x}{x (x^{2} + x)}$

Étape 1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + x - x}{x (x^{2} + x)}$

Étape 1.1.5

Soustrayez $x$ de $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 0}{x (x^{2} + x)}$

Étape 1.1.6

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{x (x^{2} + x)}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{x (x^{2} + x)}$

Étape 1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{x (x^{2} + x)}$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x^{2} + x}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.3.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.3.3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.3.3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.3.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 0}$

Étape 2.1.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.4.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Étape 2.1.3.4.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.4.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x^{2} + x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + 1}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}$

Étape 3.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

Étape 3.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + 1}$

Étape 4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2 \cdot 0 + 1}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Étape 5.1.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{1}$

Étape 5.2

Divisez $1$ par $1$ .

$1$