Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{h}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de ${(x + h)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.4

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.5

Évaluez la limite de $x^{2}$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{{(x + 0)}^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3

Associez les termes opposés dans ${(x + 0)}^{2} - x^{2}$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.2

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(x + h) (x + h) - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x (x + h) + h (x + h) - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x \cdot x + x h + h (x + h) - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + x h + h x + h \cdot h - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.4.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + x h + h x + h^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.4.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 1.3.4.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + h x + h x + h^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.4.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 h x + h^{2} - x^{2}$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.6

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.7

Évaluez $\frac{d}{d h} [2 h x]$ .

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Étape 1.3.7.1

Comme $2 x$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $2 h x$ par rapport à $h$ est $2 x \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.7.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x + 2 h + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.9

Comme $- x^{2}$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.10

Simplifiez

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Étape 1.3.10.1

Associez des termes.

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Étape 1.3.10.1.1

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 x + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.10.1.2

Additionnez $2 x + 2 h$ et $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 x + 2 h}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.10.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x}{1}$

Étape 1.4

Divisez $2 h + 2 x$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} 2 h + 2 x$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 2 x$

Étape 2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$2 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 x$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $2 x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$2 lim_{h \to 0} h + 2 x$

Étape 3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$2 \cdot 0 + 2 x$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 + 2 x$

Étape 4.2

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$