Calcul infinitésimal Exemples

$\arctan (x)$

Étape 1

Écrivez $\arctan (x)$ comme une fonction.

$f (x) = \arctan (x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \arctan (x) d x$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \arctan (x)$ et $d v = 1$ .

$\arctan (x) x - \int x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 5

Associez $x$ et $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\arctan (x) x - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 6

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 6.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 6.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\arctan (x) x - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (x) x - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 7.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\arctan (x) x - \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\arctan (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 9

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) x - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Étape 10

Simplifiez

$\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \arctan (x)$ .

$F (x) =$ $\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$