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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 1.1.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.1.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.1.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.2
Différenciez.
Étape 1.2.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.2.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.4
Simplifiez l’expression.
Étape 1.2.4.1
Additionnez et .
Étape 1.2.4.2
Multipliez par .
Étape 1.2.4.3
Réorganisez les facteurs de .
Étape 2
Étape 2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est où et .
Étape 2.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 2.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 2.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.4
Différenciez.
Étape 2.4.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.4.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.4.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.4.4
Simplifiez l’expression.
Étape 2.4.4.1
Additionnez et .
Étape 2.4.4.2
Multipliez par .
Étape 2.5
Élevez à la puissance .
Étape 2.6
Élevez à la puissance .
Étape 2.7
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.8
Additionnez et .
Étape 2.9
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.10
Multipliez par .
Étape 2.11
Simplifiez
Étape 2.11.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.11.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.11.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.11.4
Associez des termes.
Étape 2.11.4.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 2.11.4.1.1
Déplacez .
Étape 2.11.4.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.11.4.1.3
Additionnez et .
Étape 2.11.4.2
Déplacez à gauche de .
Étape 2.11.4.3
Multipliez par .
Étape 2.11.4.4
Multipliez par .
Étape 2.11.4.5
Déplacez à gauche de .
Étape 2.11.4.6
Multipliez par .
Étape 2.11.5
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.11.5.1
Réécrivez comme .
Étape 2.11.5.2
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Étape 2.11.5.2.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.11.5.2.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.11.5.2.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.11.5.3
Simplifiez et associez les termes similaires.
Étape 2.11.5.3.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.11.5.3.1.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 2.11.5.3.1.1.1
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.11.5.3.1.1.2
Additionnez et .
Étape 2.11.5.3.1.2
Déplacez à gauche de .
Étape 2.11.5.3.1.3
Réécrivez comme .
Étape 2.11.5.3.1.4
Réécrivez comme .
Étape 2.11.5.3.1.5
Multipliez par .
Étape 2.11.5.3.2
Soustrayez de .
Étape 2.11.5.4
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.11.5.5
Simplifiez
Étape 2.11.5.5.1
Multipliez par .
Étape 2.11.5.5.2
Multipliez par .
Étape 2.11.6
Additionnez et .
Étape 2.11.7
Soustrayez de .
Étape 3
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Étape 4
Étape 4.1
Déterminez la dérivée première.
Étape 4.1.1
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 4.1.1.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 4.1.1.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.1.1.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 4.1.2
Différenciez.
Étape 4.1.2.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.1.2.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2.4
Simplifiez l’expression.
Étape 4.1.2.4.1
Additionnez et .
Étape 4.1.2.4.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.4.3
Réorganisez les facteurs de .
Étape 4.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 5
Étape 5.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 5.2
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 5.3
Définissez égal à .
Étape 5.4
Définissez égal à et résolvez .
Étape 5.4.1
Définissez égal à .
Étape 5.4.2
Résolvez pour .
Étape 5.4.2.1
Factorisez le côté gauche de l’équation.
Étape 5.4.2.1.1
Réécrivez comme .
Étape 5.4.2.1.2
Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, où et .
Étape 5.4.2.1.3
Appliquez la règle de produit à .
Étape 5.4.2.2
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 5.4.2.3
Définissez égal à et résolvez .
Étape 5.4.2.3.1
Définissez égal à .
Étape 5.4.2.3.2
Résolvez pour .
Étape 5.4.2.3.2.1
Définissez le égal à .
Étape 5.4.2.3.2.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 5.4.2.4
Définissez égal à et résolvez .
Étape 5.4.2.4.1
Définissez égal à .
Étape 5.4.2.4.2
Résolvez pour .
Étape 5.4.2.4.2.1
Définissez le égal à .
Étape 5.4.2.4.2.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 5.4.2.5
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 5.5
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 6
Étape 6.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 7
Points critiques à évaluer.
Étape 8
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 9
Étape 9.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 9.1.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 9.1.2
Multipliez par .
Étape 9.1.3
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 9.1.4
Multipliez par .
Étape 9.2
Simplifiez en ajoutant des nombres.
Étape 9.2.1
Additionnez et .
Étape 9.2.2
Additionnez et .
Étape 10
est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.
est un minimum local
Étape 11
Étape 11.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 11.2
Simplifiez le résultat.
Étape 11.2.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 11.2.2
Soustrayez de .
Étape 11.2.3
Élevez à la puissance .
Étape 11.2.4
La réponse finale est .
Étape 12
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 13
Étape 13.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 13.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 13.1.2
Multipliez par .
Étape 13.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 13.1.4
Multipliez par .
Étape 13.2
Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.
Étape 13.2.1
Soustrayez de .
Étape 13.2.2
Additionnez et .
Étape 14
Étape 14.1
Divisez en intervalles distincts autour des valeurs qui rendent la dérivée première ou indéfinie.
Étape 14.2
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Étape 14.2.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 14.2.2
Simplifiez le résultat.
Étape 14.2.2.1
Multipliez par .
Étape 14.2.2.2
Élevez à la puissance .
Étape 14.2.2.3
Soustrayez de .
Étape 14.2.2.4
Élevez à la puissance .
Étape 14.2.2.5
Multipliez par .
Étape 14.2.2.6
La réponse finale est .
Étape 14.3
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Étape 14.3.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 14.3.2
Simplifiez le résultat.
Étape 14.3.2.1
Multipliez par .
Étape 14.3.2.2
Élevez à la puissance .
Étape 14.3.2.3
Soustrayez de .
Étape 14.3.2.4
Élevez à la puissance .
Étape 14.3.2.5
Multipliez par .
Étape 14.3.2.6
La réponse finale est .
Étape 14.4
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Étape 14.4.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 14.4.2
Simplifiez le résultat.
Étape 14.4.2.1
Multipliez par .
Étape 14.4.2.2
Élevez à la puissance .
Étape 14.4.2.3
Soustrayez de .
Étape 14.4.2.4
Élevez à la puissance .
Étape 14.4.2.5
Multipliez par .
Étape 14.4.2.6
La réponse finale est .
Étape 14.5
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Étape 14.5.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 14.5.2
Simplifiez le résultat.
Étape 14.5.2.1
Multipliez par .
Étape 14.5.2.2
Élevez à la puissance .
Étape 14.5.2.3
Soustrayez de .
Étape 14.5.2.4
Élevez à la puissance .
Étape 14.5.2.5
Multipliez par .
Étape 14.5.2.6
La réponse finale est .
Étape 14.6
Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.
Pas un maximum ni un minimum local
Étape 14.7
Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de , est un minimum local.
est un minimum local
Étape 14.8
Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.
Pas un maximum ni un minimum local
Étape 14.9
Ce sont les extrema locaux pour .
est un minimum local
est un minimum local
Étape 15