Calcul infinitésimal Exemples

Trouver les minimums et maximums locaux f(x)=(x^2-1)^3
Étape 1
Déterminez la dérivée première de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.1.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.2
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.2.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.4
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.1
Additionnez et .
Étape 1.2.4.2
Multipliez par .
Étape 1.2.4.3
Réorganisez les facteurs de .
Étape 2
Déterminez la dérivée seconde de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est et .
Étape 2.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 2.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.4
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.4.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.4.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.4.4
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.4.1
Additionnez et .
Étape 2.4.4.2
Multipliez par .
Étape 2.5
Élevez à la puissance .
Étape 2.6
Élevez à la puissance .
Étape 2.7
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.8
Additionnez et .
Étape 2.9
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.10
Multipliez par .
Étape 2.11
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.11.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.11.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.11.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.11.4
Associez des termes.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.11.4.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.11.4.1.1
Déplacez .
Étape 2.11.4.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.11.4.1.3
Additionnez et .
Étape 2.11.4.2
Déplacez à gauche de .
Étape 2.11.4.3
Multipliez par .
Étape 2.11.4.4
Multipliez par .
Étape 2.11.4.5
Déplacez à gauche de .
Étape 2.11.4.6
Multipliez par .
Étape 2.11.5
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.11.5.1
Réécrivez comme .
Étape 2.11.5.2
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.11.5.2.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.11.5.2.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.11.5.2.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.11.5.3
Simplifiez et associez les termes similaires.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.11.5.3.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.11.5.3.1.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.11.5.3.1.1.1
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.11.5.3.1.1.2
Additionnez et .
Étape 2.11.5.3.1.2
Déplacez à gauche de .
Étape 2.11.5.3.1.3
Réécrivez comme .
Étape 2.11.5.3.1.4
Réécrivez comme .
Étape 2.11.5.3.1.5
Multipliez par .
Étape 2.11.5.3.2
Soustrayez de .
Étape 2.11.5.4
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.11.5.5
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.11.5.5.1
Multipliez par .
Étape 2.11.5.5.2
Multipliez par .
Étape 2.11.6
Additionnez et .
Étape 2.11.7
Soustrayez de .
Étape 3
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Étape 4
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.1
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.1.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 4.1.1.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.1.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 4.1.2
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.2.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2.4
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.4.1
Additionnez et .
Étape 4.1.2.4.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.4.3
Réorganisez les facteurs de .
Étape 4.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 5
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 5.2
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 5.3
Définissez égal à .
Étape 5.4
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.1
Définissez égal à .
Étape 5.4.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.2.1
Factorisez le côté gauche de l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.2.1.1
Réécrivez comme .
Étape 5.4.2.1.2
Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, et .
Étape 5.4.2.1.3
Appliquez la règle de produit à .
Étape 5.4.2.2
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 5.4.2.3
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.2.3.1
Définissez égal à .
Étape 5.4.2.3.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.2.3.2.1
Définissez le égal à .
Étape 5.4.2.3.2.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 5.4.2.4
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.2.4.1
Définissez égal à .
Étape 5.4.2.4.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.2.4.2.1
Définissez le égal à .
Étape 5.4.2.4.2.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 5.4.2.5
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 5.5
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 6
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 7
Points critiques à évaluer.
Étape 8
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 9
Évaluez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 9.1.2
Multipliez par .
Étape 9.1.3
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 9.1.4
Multipliez par .
Étape 9.2
Simplifiez en ajoutant des nombres.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.2.1
Additionnez et .
Étape 9.2.2
Additionnez et .
Étape 10
est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.
est un minimum local
Étape 11
Déterminez la valeur y quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 11.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 11.2.2
Soustrayez de .
Étape 11.2.3
Élevez à la puissance .
Étape 11.2.4
La réponse finale est .
Étape 12
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 13
Évaluez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 13.1.2
Multipliez par .
Étape 13.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 13.1.4
Multipliez par .
Étape 13.2
Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.2.1
Soustrayez de .
Étape 13.2.2
Additionnez et .
Étape 14
Comme il y a au moins un point avec ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.1
Divisez en intervalles distincts autour des valeurs qui rendent la dérivée première ou indéfinie.
Étape 14.2
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.2.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 14.2.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.2.2.1
Multipliez par .
Étape 14.2.2.2
Élevez à la puissance .
Étape 14.2.2.3
Soustrayez de .
Étape 14.2.2.4
Élevez à la puissance .
Étape 14.2.2.5
Multipliez par .
Étape 14.2.2.6
La réponse finale est .
Étape 14.3
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.3.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 14.3.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.3.2.1
Multipliez par .
Étape 14.3.2.2
Élevez à la puissance .
Étape 14.3.2.3
Soustrayez de .
Étape 14.3.2.4
Élevez à la puissance .
Étape 14.3.2.5
Multipliez par .
Étape 14.3.2.6
La réponse finale est .
Étape 14.4
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.4.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 14.4.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.4.2.1
Multipliez par .
Étape 14.4.2.2
Élevez à la puissance .
Étape 14.4.2.3
Soustrayez de .
Étape 14.4.2.4
Élevez à la puissance .
Étape 14.4.2.5
Multipliez par .
Étape 14.4.2.6
La réponse finale est .
Étape 14.5
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.5.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 14.5.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.5.2.1
Multipliez par .
Étape 14.5.2.2
Élevez à la puissance .
Étape 14.5.2.3
Soustrayez de .
Étape 14.5.2.4
Élevez à la puissance .
Étape 14.5.2.5
Multipliez par .
Étape 14.5.2.6
La réponse finale est .
Étape 14.6
Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.
Pas un maximum ni un minimum local
Étape 14.7
Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de , est un minimum local.
est un minimum local
Étape 14.8
Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.
Pas un maximum ni un minimum local
Étape 14.9
Ce sont les extrema locaux pour .
est un minimum local
est un minimum local
Étape 15