Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{4} + 27$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4} + 27$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4} + 27$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 27$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])$

Étape 1.2.3

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + 0)$

Étape 1.2.4

Associez les fractions.

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Étape 1.2.4.1

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3})$

Étape 1.2.4.2

Associez $4$ et $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$\frac{4}{x^{4} + 27} x^{3}$

Étape 1.2.4.3

Associez $\frac{4}{x^{4} + 27}$ et $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{x^{4} + 27})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x^{4} + 27$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Étape 2.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{4} + 27$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 \cdot ((x^{4} + 27) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 27$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Étape 2.3.5

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Étape 2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.6.1

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Étape 2.3.6.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Étape 2.4

Multipliez $x^{3}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Étape 2.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Étape 2.4.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Étape 2.5

Associez $4$ et $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot (27 x^{2}) - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.4.1.1

Multipliez $x^{4}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.4.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.6.4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.6.4.1.1.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.6.4.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.6.4.1.3

Multipliez $3$ par $27$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.6.4.1.4

Multipliez $81$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.6.4.1.5

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.6.4.2

Soustrayez $16 x^{6}$ de $12 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{4} + 27$ .

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Étape 4.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4} + 27$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

Étape 4.1.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

Étape 4.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4} + 27$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 27$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (27))$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (27))$

Étape 4.1.2.3

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3} + 0)$

Étape 4.1.2.4

Associez les fractions.

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Étape 4.1.2.4.1

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3})$

Étape 4.1.2.4.2

Associez $4$ et $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$f' (x) = \frac{4}{x^{4} + 27} \cdot x^{3}$

Étape 4.1.2.4.3

Associez $\frac{4}{x^{4} + 27}$ et $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 x^{3} = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{3} = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{3} = 0$ par $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 5.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 5.3.1.2.1.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{4}$

Étape 5.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x^{3} = 0$

Étape 5.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 5.3.3

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 5.3.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 5.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{- 4 {(0)}^{6} + 324 {(0)}^{2}}{{({(0)}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{- 4 \cdot 0 + 324 \cdot 0^{2}}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$\frac{0 + 324 \cdot 0^{2}}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 9.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0 + 324 \cdot 0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 9.1.4

Multipliez $324$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 9.1.5

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{{(0 + 27)}^{2}}$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $27$ .

$\frac{0}{27^{2}}$

Étape 9.2.3

Élevez $27$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{729}$

Étape 9.3

Divisez $0$ par $729$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = \frac{4 {(- 2)}^{3}}{{(- 2)}^{4} + 27}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{{(- 2)}^{4} + 27}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{16 + 27}$

Étape 10.2.2.2.2

Additionnez $16$ et $27$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{43}$

Étape 10.2.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.2.2.3.1

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$f' (- 2) = \frac{- 32}{43}$

Étape 10.2.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 2) = - \frac{32}{43}$

Étape 10.2.2.4

La réponse finale est $- \frac{32}{43}$ .

$- \frac{32}{43}$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée première $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = \frac{4 {(2)}^{3}}{{(2)}^{4} + 27}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.3.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.2.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f' (2) = \frac{2^{2} \cdot 2^{3}}{2^{4} + 27}$

Étape 10.3.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (2) = \frac{2^{2 + 3}}{2^{4} + 27}$

Étape 10.3.2.1.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{5}}{2^{4} + 27}$

Étape 10.3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.3.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f' (2) = \frac{2^{5}}{16 + 27}$

Étape 10.3.2.2.2

Additionnez $16$ et $27$ .

$f' (2) = \frac{2^{5}}{43}$

Étape 10.3.2.3

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f' (2) = \frac{32}{43}$

Étape 10.3.2.4

La réponse finale est $\frac{32}{43}$ .

$\frac{32}{43}$

Étape 10.4

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un minimum local.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11