Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \cos (π x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = π x$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $π x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $π x$ .

$- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \sin (π x) (π \cdot 1)$

Étape 1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$- \sin (π x) π$

Étape 1.2.3.2

Réorganisez les facteurs de $- \sin (π x) π$ .

$- π \sin (π x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- π \sin (π x)$ par rapport à $x$ est $- π \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ .

$f'' (x) = - π \frac{d}{d x} \sin (π x)$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = π x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $π x$ .

$f'' (x) = - π (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (π x))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - π (\cos (u) \frac{d}{d x} (π x))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $π x$ .

$f'' (x) = - π (\cos (π x) \frac{d}{d x} (π x))$

Étape 2.3

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - π \cos (π x) (π \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - π π \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

Étape 2.5

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - π π \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - π^{1 + 1} \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

Étape 2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x) \cdot 1$

Étape 2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- π \sin (π x) = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $- π \sin (π x) = 0$ par $- π$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $- π \sin (π x) = 0$ par $- π$ .

$\frac{- π \sin (π x)}{- π} = \frac{0}{- π}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{π \sin (π x)}{π} = \frac{0}{- π}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π \sin (π x)}{π} = \frac{0}{- π}$

Étape 4.2.2.2

Divisez $\sin (π x)$ par $1$ .

$\sin (π x) = \frac{0}{- π}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $- π$ .

$\sin (π x) = 0$

Étape 5

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$π x = \arcsin (0)$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$π x = 0$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $π x = 0$ par $π$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $π x = 0$ par $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Divisez $0$ par $π$ .

$x = 0$

Étape 8

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$π x = π - 0$

Étape 9

Résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Simplifiez

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Étape 9.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$π x = π + 0$

Étape 9.1.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$π x = π$

Étape 9.2

Divisez chaque terme dans $π x = π$ par $π$ et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Divisez chaque terme dans $π x = π$ par $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 9.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Étape 9.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{π}{π}$

Étape 9.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.3.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 9.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{π}{π}$

Étape 9.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 1$

Étape 10

La solution de l’équation est $π x = 0$ .

$x = 0, 1$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- π^{2} \cos (π (0))$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 12.1

Multipliez $π$ par $0$ .

$- π^{2} \cos (0)$

Étape 12.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- π^{2} \cdot 1$

Étape 12.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- π^{2}$

Étape 13

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 14

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 14.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \cos (π (0))$

Étape 14.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.2.1

Multipliez $π$ par $0$ .

$f (0) = \cos (0)$

Étape 14.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (0) = 1$

Étape 14.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 15

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- π^{2} \cos (π (1))$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 16.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$- π^{2} \cos (π)$

Étape 16.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- π^{2} (- \cos (0))$

Étape 16.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- π^{2} (- 1 \cdot 1)$

Étape 16.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- π^{2} \cdot - 1$

Étape 16.5

Multipliez $- π^{2} \cdot - 1$ .

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Étape 16.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 π^{2}$

Étape 16.5.2

Multipliez $π^{2}$ par $1$ .

$π^{2}$

Étape 17

$x = 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un minimum local

Étape 18

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Étape 18.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \cos (π (1))$

Étape 18.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 18.2.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$f (1) = \cos (π)$

Étape 18.2.2

$f (1) = - \cos (0)$

Étape 18.2.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (1) = - 1 \cdot 1$

Étape 18.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1) = - 1$

Étape 18.2.5

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 19

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \cos (π x)$ .

$(0, 1)$ est un maximum local

$(1, - 1)$ est un minimum local

Étape 20