Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x + 2 \cos (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$1 + 2 (- \sin (x))$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$1 - 2 \sin (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Étape 2.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \cos (x)$

Étape 2.3

Soustrayez $2 \cos (x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Étape 4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (x) = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (x) = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Étape 6

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 8

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{6}$

Étape 9

Simplifiez $π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 9.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 9.2

Associez les fractions.

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Étape 9.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 9.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 9.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 10

La solution de l’équation est $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{6}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 \cos (\frac{π}{6})$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 12.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 12.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 12.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 12.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 \sqrt{3}$

Étape 12.3

Réécrivez $- 1 \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$- \sqrt{3}$

Étape 13

$x = \frac{π}{6}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{6}$ est un maximum local

Étape 14

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{6}$ .

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Étape 14.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{6}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{6}) = (\frac{π}{6}) + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Étape 14.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.2.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 14.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 14.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + \sqrt{3}$

Étape 14.2.2

La réponse finale est $\frac{π}{6} + \sqrt{3}$ .

$y = \frac{π}{6} + \sqrt{3}$

Étape 15

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{5 π}{6}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 16.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Étape 16.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 16.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 16.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 16.3.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 16.3.4

Réécrivez l’expression.

$- 1 (- \sqrt{3})$

Étape 16.4

Multipliez.

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Étape 16.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \sqrt{3}$

Étape 16.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\sqrt{3}$

Étape 17

$x = \frac{5 π}{6}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{5 π}{6}$ est un minimum local

Étape 18

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{5 π}{6}$ .

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Étape 18.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5 π}{6}$ dans l’expression.

$f (\frac{5 π}{6}) = (\frac{5 π}{6}) + 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

Étape 18.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 18.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.2.1.1

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Étape 18.2.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 18.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Étape 18.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Étape 18.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} - \sqrt{3}$

Étape 18.2.2

La réponse finale est $\frac{5 π}{6} - \sqrt{3}$ .

$y = \frac{5 π}{6} - \sqrt{3}$

Étape 19

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x + 2 \cos (x)$ .

$(\frac{π}{6}, \frac{π}{6} + \sqrt{3})$ est un maximum local

$(\frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} - \sqrt{3})$ est un minimum local

Étape 20