Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 5$ et $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.3

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + 0) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x - 3$ .

$\frac{2 \cdot (x - 3) x - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.3.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.3.4.1.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.3.4.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.3.4.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.3.5

Factorisez $x^{2} - 6 x + 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.3.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $5$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 5, - 1$

Étape 2.3.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 1)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${({(x - 3)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 1)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 1)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 5$ et $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.4.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.4.4.2

Multipliez $x - 5$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.4.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 5))) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.4.7

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) (1 + 0)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.4.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.4.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) \cdot 1) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.4.8.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + x - 1) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.4.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 5 - 1) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.4.8.4

Soustrayez $1$ de $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 3$ .

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Étape 3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) (2 u \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) (2 (x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.6.2

Factorisez $x - 3$ à partir de ${(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} [x - 3])$ .

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Étape 3.6.2.1

Factorisez $x - 3$ à partir de ${(x - 3)}^{2} (2 x - 6)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6)) - 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.6.2.2

Factorisez $x - 3$ à partir de $- 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} [x - 3])$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6)) + (x - 3) (- 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{{(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.6.2.3

Factorisez $x - 3$ à partir de $(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6)) + (x - 3) (- 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 3]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{{(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.7

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.7.1

Factorisez $x - 3$ à partir de ${(x - 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{(x - 3) {(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.7.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{(x - 3) {(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.7.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.10

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) \cdot 1}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.11.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.12

Simplifiez

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Étape 3.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.12.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.12.2.1.1

Développez $(x - 3) (2 x - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.12.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 6) - 3 (2 x - 6) + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.12.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - 3 (2 x - 6) + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.12.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.12.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.12.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.12.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.12.2.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.12.2.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.12.2.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.12.2.1.2.1.3

Déplacez $- 6$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.12.2.1.2.1.4

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - 6 x - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.12.2.1.2.1.5

Multipliez $- 3$ par $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - 6 x + 18 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.12.2.1.2.2

Soustrayez $6 x$ de $- 6 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.12.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 + (- 2 x + 10) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.12.2.1.4

Développez $(- 2 x + 10) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.12.2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x (x - 1) + 10 (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.12.2.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 10 (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.12.2.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.12.2.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.12.2.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.12.2.1.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.12.2.1.5.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.12.2.1.5.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.12.2.1.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 2 x + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.12.2.1.5.1.3

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 2 x + 10 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.12.2.1.5.2

Additionnez $2 x$ et $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 12 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.12.2.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 12 x - 10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.12.2.2.1

Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x + 18 + 0 + 12 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.12.2.2.2

Additionnez $- 12 x + 18$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x + 18 + 12 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.12.2.2.3

Additionnez $- 12 x$ et $12 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 18 - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.12.2.2.4

Additionnez $0$ et $18$ .

$f'' (x) = \frac{18 - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.12.2.3

Soustrayez $10$ de $18$ .

$f'' (x) = \frac{8}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

$f' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 5) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 5.1.2

Différenciez.

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Étape 5.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 5.1.2.3

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 x + 0) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 5.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 5.1.2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x - 3$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 3) x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 5.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 5.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 5.1.2.7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 5.1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.2.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 5.1.2.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 5.1.3

Simplifiez

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Étape 5.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 3 x) - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 3 x) - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 5.1.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.3.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.3.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 3 x) - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 5.1.3.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 3 x) - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 5.1.3.4.1.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 5.1.3.4.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 5.1.3.4.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 5.1.3.5

Factorisez $x^{2} - 6 x + 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1.3.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $5$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 5, - 1$

Étape 5.1.3.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f' (x) = \frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(x - 5) (x - 1) = 0$

Étape 6.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 6.3.2

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.2.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 6.3.2.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 6.3.3

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.3.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 6.3.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 6.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 5) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 5, 1$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x$ .

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Étape 7.2.1

Définissez le $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 7.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 5, 1$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 5$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{8}{{((5) - 3)}^{3}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1.1

Soustrayez $3$ de $5$ .

$\frac{8}{2^{3}}$

Étape 10.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{8}{8}$

Étape 10.2

Divisez $8$ par $8$ .

$1$

Étape 11

$x = 5$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 5$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 5$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = \frac{{(5)}^{2} - 5}{(5) - 3}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (5) = \frac{25 - 5}{5 - 3}$

Étape 12.2.1.2

Soustrayez $5$ de $25$ .

$f (5) = \frac{20}{5 - 3}$

Étape 12.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.2.2.1

Soustrayez $3$ de $5$ .

$f (5) = \frac{20}{2}$

Étape 12.2.2.2

Divisez $20$ par $2$ .

$f (5) = 10$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $10$ .

$y = 10$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{8}{{((1) - 3)}^{3}}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.1.1

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{8}{{(- 2)}^{3}}$

Étape 14.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$\frac{8}{- 8}$

Étape 14.2

Divisez $8$ par $- 8$ .

$- 1$

Étape 15

$x = 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{{(1)}^{2} - 5}{(1) - 3}$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \frac{1 - 5}{1 - 3}$

Étape 16.2.1.2

Soustrayez $5$ de $1$ .

$f (1) = \frac{- 4}{1 - 3}$

Étape 16.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 16.2.2.1

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f (1) = \frac{- 4}{- 2}$

Étape 16.2.2.2

Divisez $- 4$ par $- 2$ .

$f (1) = 2$

Étape 16.2.3

La réponse finale est $2$ .

$y = 2$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$ .

$(5, 10)$ est un minimum local

$(1, 2)$ est un maximum local

Étape 18