Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} + 4 x + 5$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$2 x + 4 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 4 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $2 x + 4$ et $0$ .

$2 x + 4$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$f'' (x) = 2$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 x + 4 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$2 x + 4 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 4 + 0$

Étape 4.1.3.2

Additionnez $2 x + 4$ et $0$ .

$f' (x) = 2 x + 4$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x + 4$ .

$2 x + 4$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x + 4 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x + 4 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 4$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $2 x = - 4$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 4$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 4}{2}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 4}{2}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Divisez $- 4$ par $2$ .

$x = - 2$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 2$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2$

Étape 9

$x = - 2$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 2$ est un minimum local

Étape 10

Déterminez la valeur y quand $x = - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 5$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = 4 + 4 (- 2) + 5$

Étape 10.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$f (- 2) = 4 - 8 + 5$

Étape 10.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.1

Soustrayez $8$ de $4$ .

$f (- 2) = - 4 + 5$

Étape 10.2.2.2

Additionnez $- 4$ et $5$ .

$f (- 2) = 1$

Étape 10.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 11

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{2} + 4 x + 5$ .

$(- 2, 1)$ est un minimum local

Étape 12