Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.3.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

Étape 1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x \ln (x) + x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x \ln (x) + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x \ln (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.5

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.7

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 x \ln (x) + x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1.3.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 4.1.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3.2.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

Étape 4.1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x \ln (x) + x$ .

$2 x \ln (x) + x$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x \ln (x) + x = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x \ln (x) + x = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x \ln (x) = - x$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $2 x \ln (x) = - x$ par $2 x$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x \ln (x) = - x$ par $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $\ln (x)$ par $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Étape 5.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 5.4

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 5.5

Réécrivez $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

Étape 5.6

Résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Réécrivez l’équation comme $x = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 5.6.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x \leq 0$

Étape 6.2

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) + 3$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Placez $e^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 \ln (e^{- \frac{1}{2}}) + 3$

Étape 9.1.2

Développez $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ en déplaçant $- \frac{1}{2}$ hors du logarithme.

$2 (- \frac{1}{2} \ln (e)) + 3$

Étape 9.1.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$2 (- \frac{1}{2} \cdot 1) + 3$

Étape 9.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 (- \frac{1}{2}) + 3$

Étape 9.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$2 (\frac{- 1}{2}) + 3$

Étape 9.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{- 1}{2}) + 3$

Étape 9.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 + 3$

Étape 9.2

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$2$

Étape 10

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 11.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 11.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 11.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 11.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 11.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 11.2.2.2

Simplifiez

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 11.2.3

Placez $e^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{2}})$

Étape 11.2.4

Développez $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ en déplaçant $- \frac{1}{2}$ hors du logarithme.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot \ln (e))$

Étape 11.2.5

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

Étape 11.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2})$

Étape 11.2.7

Multipliez $\frac{1}{e}$ par $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{1}{e \cdot 2}$

Étape 11.2.8

Déplacez $2$ à gauche de $e$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{1}{2 e}$

Étape 11.2.9

La réponse finale est $- \frac{1}{2 e}$ .

$y = - \frac{1}{2 e}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{2} \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{1}{2 e})$ est un minimum local

Étape 13