Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 6 (2 x)$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$3 x^{2} - 12 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 12 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 12 \frac{d}{d x} x$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 12 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 12$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} - 12 x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 6 (2 x)$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 12 x$ .

$3 x^{2} - 12 x$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 12 x = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 12 x = 0$

Étape 5.2

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2} - 12 x$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 12 x = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $3 x$ à partir de $- 12 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 4) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (x) + 3 x (- 4)$ .

$3 x (x - 4) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 5.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 x (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, 4$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, 4$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (0) - 12$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Multipliez $6$ par $0$ .

$0 - 12$

Étape 9.2

Soustrayez $12$ de $0$ .

$- 12$

Étape 10

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{3} - 6 {(0)}^{2}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 6 {(0)}^{2}$

Étape 11.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 6 \cdot 0$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Étape 11.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 4$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (4) - 12$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Multipliez $6$ par $4$ .

$24 - 12$

Étape 13.2

Soustrayez $12$ de $24$ .

$12$

Étape 14

$x = 4$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 4$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = 4$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = {(4)}^{3} - 6 {(4)}^{2}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f (4) = 64 - 6 {(4)}^{2}$

Étape 15.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (4) = 64 - 6 \cdot 16$

Étape 15.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $16$ .

$f (4) = 64 - 96$

Étape 15.2.2

Soustrayez $96$ de $64$ .

$f (4) = - 32$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $- 32$ .

$y = - 32$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{3} - 6 x^{2}$ .

$(0, 0)$ est un maximum local

$(4, - 32)$ est un minimum local

Étape 17