Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} + x^{2}}{5 x - x^{2}}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $\sqrt{x^{4}} = x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{5 x}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{5 x}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 2.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}} + 1}{\frac{5 x}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}} + 1}{\frac{5}{x} - 1}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{4}$ .

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Étape 2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{1}}{x^{4}}} + 1}{\frac{5}{x} - 1}$

Étape 2.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{4}}} + 1}{\frac{5}{x} - 1}$

Étape 2.2.2.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}}} + 1}{\frac{5}{x} - 1}$

Étape 2.2.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}}} + 1}{\frac{5}{x} - 1}$

Étape 2.2.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{x^{3}}} + 1}{\frac{5}{x} - 1}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{3}}} + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 1}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{3}}} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 1}$

Étape 2.5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 1}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{0} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 1}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 1}$

Étape 4.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 4.3

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{5 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{5 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Étape 6.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{\sqrt{0^{2}} + 1}{5 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Étape 6.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{0 + 1}{5 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Étape 6.2.1.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{5 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{1}{0 - 1 \cdot 1}$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{0 - 1}$

Étape 6.2.2.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{1}{- 1}$

Étape 6.2.3

Divisez $1$ par $- 1$ .

$- 1$