Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} {(1 - \frac{4}{x})}^{x}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$lim_{x \to 8} {(\frac{x}{x} - \frac{4}{x})}^{x}$

Étape 1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 8} {(\frac{x - 4}{x})}^{x}$

Étape 2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(\frac{x - 4}{x})}^{x}$ comme $e^{\ln ({(\frac{x - 4}{x})}^{x})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{x - 4}{x})}^{x})}$

Étape 2.2

Développez $\ln ({(\frac{x - 4}{x})}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 8} e^{x \ln (\frac{x - 4}{x})}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 8} x \ln (\frac{x - 4}{x})}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x - 4}{x})}$

Étape 3.3

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{x - 4}{x})}$

Étape 3.4

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 4}{lim_{x \to 8} x})}$

Étape 3.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 4}{lim_{x \to 8} x})}$

Étape 3.6

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x})}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x})}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x})}$

Étape 4.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 4}{8})}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Simplifiez $8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 4}{8})$ en déplaçant $8$ dans le logarithme.

$e^{\ln ({(\frac{8 - 1 \cdot 4}{8})}^{8})}$

Étape 5.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

${(\frac{8 - 1 \cdot 4}{8})}^{8}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun à $8 - 1 \cdot 4$ et $8$ .

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Étape 5.3.1

Réécrivez $8$ comme $- 1 (- 8)$ .

${(\frac{- 1 (- 8) - 1 \cdot 4}{8})}^{8}$

Étape 5.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \cdot 4$ .

${(\frac{- 1 (- 8) - 1 (4)}{8})}^{8}$

Étape 5.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 8) - 1 (4)$ .

${(\frac{- 1 (- 8 + 4)}{8})}^{8}$

Étape 5.3.4

Factorisez $4$ à partir de $- 1 (- 8 + 4)$ .

${(\frac{4 (- 1 (- 2 + 1))}{8})}^{8}$

Étape 5.3.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.5.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

${(\frac{4 (- 1 (- 2 + 1))}{4 (2)})}^{8}$

Étape 5.3.5.2

Annulez le facteur commun.

${(\frac{4 (- 1 (- 2 + 1))}{4 \cdot 2})}^{8}$

Étape 5.3.5.3

Réécrivez l’expression.

${(\frac{- 1 (- 2 + 1)}{2})}^{8}$

Étape 5.4

Additionnez $- 2$ et $1$ .

${(\frac{- 1 \cdot - 1}{2})}^{8}$

Étape 5.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

${(\frac{1}{2})}^{8}$

Étape 5.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1^{8}}{2^{8}}$

Étape 5.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2^{8}}$

Étape 5.8

Élevez $2$ à la puissance $8$ .

$\frac{1}{256}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{256}$

Forme décimale :

$0.00390625$