Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 + x} - \frac{1}{2}}{x}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{1}{2 + x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 + x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}{x}$

Étape 1.2

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 + x}{2 + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 + x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2 + x}{2 + x}}{x}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(2 + x) \cdot 2$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{1}{2 + x}$ par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{(2 + x) \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2 + x}{2 + x}}{x}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2 + x}{2 + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{(2 + x) \cdot 2} - \frac{2 + x}{2 (2 + x)}}{x}$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(2 + x) \cdot 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{2 (2 + x)} - \frac{2 + x}{2 (2 + x)}}{x}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 - (2 + x)}{2 (2 + x)}}{x}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 2.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{2 - (2 + x)}{2 (2 + x)} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 2.1.2

Multipliez $\frac{2 - (2 + x)}{2 (2 + x)}$ par $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 - (2 + x)}{2 (2 + x) x}$

Étape 2.2

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 - (2 + x)}{(2 + x) x}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 - (2 + x)}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

Étape 3.1.2

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1.2.1

Évaluez la limite de $2 - (2 + x)$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - (2 + 0)}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.2.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

Étape 3.1.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

Étape 3.1.2.3

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} 2 + x \cdot lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.3.3

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{(2 + lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.3.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1.3.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{(2 + 0) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.3.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{(2 + 0) \cdot 0}$

Étape 3.1.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.3.5.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 \cdot 0}$

Étape 3.1.3.5.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.5.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{2 - (2 + x)}{(2 + x) x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 - (2 + x)]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 - (2 + x)]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - (2 + x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- (2 + x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- (2 + x)]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Étape 3.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (2 + x)]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Étape 3.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- (2 + x)]$ .

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Étape 3.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (2 + x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [2 + x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [2 + x]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Étape 3.3.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Étape 3.3.4.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Étape 3.3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 + 1)}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Étape 3.3.4.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Étape 3.3.4.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Étape 3.3.5

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 2 + x$ et $g (x) = x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(2 + x) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [2 + x]}$

Étape 3.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(2 + x) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [2 + x]}$

Étape 3.3.8

Multipliez $2 + x$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x \frac{d}{d x} [2 + x]}$

Étape 3.3.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 3.3.10

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x (0 + \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 3.3.11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x \cdot 1}$

Étape 3.3.13

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x}$

Étape 3.3.14

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + 2 x}$

Étape 3.3.15

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 x + 2}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 2}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $- 1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 2}$

Étape 4.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 2}$

Étape 4.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2}$

Étape 4.5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{x \to 0} x + 2}$

Étape 5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 0 + 2}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{0 + 2}$

Étape 6.1.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

Étape 6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2}$

Étape 6.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{1}{4}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{4}$

Forme décimale :

$- 0.25$