Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{x^{7}}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{7}}]$ comme $\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x}]$ .

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Étape 1.1

Réécrivez $x^{7}$ comme ${(x^{3})}^{2} x$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x^{6}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{6} x}]$

Étape 1.1.2

Réécrivez $x^{6}$ comme ${(x^{3})}^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x^{3})}^{2} x}]$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x}]$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Multipliez $x^{3}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [x^{3 + \frac{1}{2}}]$

Étape 3.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Étape 3.3

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot 2 + 1}{2}}]$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{6 + 1}{2}}]$

Étape 3.5.2

Additionnez $6$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}$

Étape 5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}}$

Étape 8.2

Soustrayez $2$ de $7$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}$

Étape 9

Associez $\frac{7}{2}$ et $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$