Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\tan (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \tan (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (x)$ .

$\frac{1}{\tan (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 4

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\cot (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 5

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\cot (x) \sec^{2} (x)$

Étape 6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Réorganisez les facteurs de $\cot (x) \sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \cot (x)$

Étape 6.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cot (x)$

Étape 6.3

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 6.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 6.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 6.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 6.6

Multipliez $\frac{1^{2}}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 6.7

Séparez les fractions.

$\frac{1^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 6.8

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{1^{2}}{\sin (x)} \sec (x)$

Étape 6.9

Séparez les fractions.

$\frac{1^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

Étape 6.10

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\frac{1^{2}}{1} \csc (x) \sec (x)$

Étape 6.11

Divisez $1^{2}$ par $1$ .

$1^{2} \csc (x) \sec (x)$

Étape 6.12

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 \csc (x) \sec (x)$

Étape 6.13

Multipliez $\csc (x)$ par $1$ .

$\csc (x) \sec (x)$