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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 1.1.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.1.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.1.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3
Élevez à la puissance .
Étape 1.4
Élevez à la puissance .
Étape 1.5
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.6
Additionnez et .
Étape 2
Étape 2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est où et .
Étape 2.3
La dérivée de par rapport à est .
Étape 2.4
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 2.4.1
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.4.2
Additionnez et .
Étape 2.5
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 2.5.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 2.5.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.5.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.6
Déplacez à gauche de .
Étape 2.7
La dérivée de par rapport à est .
Étape 2.8
Élevez à la puissance .
Étape 2.9
Élevez à la puissance .
Étape 2.10
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.11
Additionnez et .
Étape 2.12
Élevez à la puissance .
Étape 2.13
Élevez à la puissance .
Étape 2.14
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.15
Additionnez et .
Étape 2.16
Simplifiez
Étape 2.16.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.16.2
Multipliez par .
Étape 2.16.3
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 3
Étape 3.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.2
Évaluez .
Étape 3.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.2.2
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est où et .
Étape 3.2.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 3.2.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 3.2.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.2.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 3.2.4
La dérivée de par rapport à est .
Étape 3.2.5
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 3.2.5.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 3.2.5.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.2.5.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 3.2.6
La dérivée de par rapport à est .
Étape 3.2.7
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.2.7.1
Déplacez .
Étape 3.2.7.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.2.7.3
Additionnez et .
Étape 3.2.8
Déplacez à gauche de .
Étape 3.2.9
Élevez à la puissance .
Étape 3.2.10
Élevez à la puissance .
Étape 3.2.11
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.2.12
Additionnez et .
Étape 3.2.13
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.2.13.1
Déplacez .
Étape 3.2.13.2
Multipliez par .
Étape 3.2.13.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 3.2.13.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.2.13.3
Additionnez et .
Étape 3.2.14
Déplacez à gauche de .
Étape 3.3
Évaluez .
Étape 3.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.3.2
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 3.3.2.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 3.3.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.3.2.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 3.3.3
La dérivée de par rapport à est .
Étape 3.3.4
Élevez à la puissance .
Étape 3.3.5
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.3.6
Additionnez et .
Étape 3.3.7
Multipliez par .
Étape 3.4
Simplifiez
Étape 3.4.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.4.2
Associez des termes.
Étape 3.4.2.1
Multipliez par .
Étape 3.4.2.2
Multipliez par .
Étape 3.4.2.3
Additionnez et .
Étape 4
Étape 4.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.2
Évaluez .
Étape 4.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.2.2
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est où et .
Étape 4.2.3
La dérivée de par rapport à est .
Étape 4.2.4
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 4.2.4.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 4.2.4.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.2.4.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 4.2.5
La dérivée de par rapport à est .
Étape 4.2.6
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 4.2.6.1
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 4.2.6.2
Additionnez et .
Étape 4.2.7
Élevez à la puissance .
Étape 4.2.8
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 4.2.9
Additionnez et .
Étape 4.2.10
Élevez à la puissance .
Étape 4.2.11
Élevez à la puissance .
Étape 4.2.12
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 4.2.13
Additionnez et .
Étape 4.3
Évaluez .
Étape 4.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.3.2
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est où et .
Étape 4.3.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 4.3.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 4.3.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.3.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 4.3.4
La dérivée de par rapport à est .
Étape 4.3.5
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 4.3.5.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 4.3.5.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.3.5.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 4.3.6
La dérivée de par rapport à est .
Étape 4.3.7
Élevez à la puissance .
Étape 4.3.8
Élevez à la puissance .
Étape 4.3.9
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 4.3.10
Additionnez et .
Étape 4.3.11
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 4.3.11.1
Déplacez .
Étape 4.3.11.2
Multipliez par .
Étape 4.3.11.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 4.3.11.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 4.3.11.3
Additionnez et .
Étape 4.3.12
Déplacez à gauche de .
Étape 4.3.13
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 4.3.13.1
Déplacez .
Étape 4.3.13.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 4.3.13.3
Additionnez et .
Étape 4.3.14
Déplacez à gauche de .
Étape 4.4
Simplifiez
Étape 4.4.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 4.4.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 4.4.3
Associez des termes.
Étape 4.4.3.1
Multipliez par .
Étape 4.4.3.2
Multipliez par .
Étape 4.4.3.3
Multipliez par .
Étape 4.4.3.4
Additionnez et .
Étape 4.4.4
Remettez les termes dans l’ordre.