Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 1}^{10} i (i^{2} + 1)$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$i \cdot i^{2} + i \cdot 1$

Étape 1.2

Multipliez $i$ par $i^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1

Multipliez $i$ par $i^{2}$ .

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Étape 1.2.1.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$i^{1} i^{2} + i \cdot 1$

Étape 1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$i^{1 + 2} + i \cdot 1$

Étape 1.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$i^{3} + i \cdot 1$

Étape 1.3

Multipliez $i$ par $1$ .

$i^{3} + i$

Étape 1.4

Réécrivez l’addition.

$\sum_{i = 1}^{10} i^{3} + i$

Étape 2

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{i = 1}^{10} i^{3} + i = \sum_{i = 1}^{10} i^{3} + \sum_{i = 1}^{10} i$

Étape 3

Évaluez $\sum_{i = 1}^{10} i^{3}$ .

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Étape 3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $3$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$\frac{10^{2} {(10 + 1)}^{2}}{4}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1.1

Additionnez $10$ et $1$ .

$\frac{10^{2} \cdot 11^{2}}{4}$

Étape 3.3.1.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$\frac{100 \cdot 11^{2}}{4}$

Étape 3.3.1.3

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$\frac{100 \cdot 121}{4}$

Étape 3.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $100$ par $121$ .

$\frac{12100}{4}$

Étape 3.3.2.2

Divisez $12100$ par $4$ .

$3025$

Étape 4

Évaluez $\sum_{i = 1}^{10} i$ .

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Étape 4.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$\frac{10 (10 + 1)}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun à $10$ et $2$ .

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Étape 4.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10 (10 + 1)$ .

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2}$

Étape 4.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2 (1)}$

Étape 4.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 (10 + 1)}{1}$

Étape 4.3.1.2.4

Divisez $5 (10 + 1)$ par $1$ .

$5 (10 + 1)$

Étape 4.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.1

Additionnez $10$ et $1$ .

$5 \cdot 11$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $5$ par $11$ .

$55$

Étape 5

Additionnez les résultats des additions.

$3025 + 55$

Étape 6

Additionnez $3025$ et $55$ .

$3080$