Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 5}^{13} 3 i + 2$

Étape 1

Divisez l’addition pour rendre la valeur de départ de $i$ égale à $1$ .

$\sum_{k = 5}^{13} 3 i + 2 = \sum_{k = 1}^{13} 3 i + 2 - \sum_{k = 1}^{4} 3 i + 2$

Étape 2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{13} 3 i + 2$ .

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Étape 2.1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{13} 3 i + 2 = 3 \sum_{k = 1}^{13} i + \sum_{k = 1}^{13} 2$

Étape 2.2

Évaluez $3 \sum_{k = 1}^{13} i$ .

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Étape 2.2.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 2.2.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(3) (\frac{13 (13 + 1)}{2})$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Additionnez $13$ et $1$ .

$3 \frac{13 \cdot 14}{2}$

Étape 2.2.3.2

Multipliez $13$ par $14$ .

$3 (\frac{182}{2})$

Étape 2.2.3.3

Divisez $182$ par $2$ .

$3 \cdot 91$

Étape 2.2.3.4

Multipliez $3$ par $91$ .

$273$

Étape 2.3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{13} 2$ .

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Étape 2.3.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 2.3.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(2) (13)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $13$ .

$26$

Étape 2.4

Additionnez les résultats des additions.

$273 + 26$

Étape 2.5

Additionnez $273$ et $26$ .

$299$

Étape 3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{4} 3 i + 2$ .

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Étape 3.1

Développez la série pour chaque valeur de $i$ .

$3 \cdot 1 + 2 + 3 \cdot 2 + 2 + 3 \cdot 3 + 2 + 3 \cdot 4 + 2$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + 2 + 3 \cdot 2 + 2 + 3 \cdot 3 + 2 + 3 \cdot 4 + 2$

Étape 3.2.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$5 + 3 \cdot 2 + 2 + 3 \cdot 3 + 2 + 3 \cdot 4 + 2$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$5 + 6 + 2 + 3 \cdot 3 + 2 + 3 \cdot 4 + 2$

Étape 3.2.4

Additionnez $6$ et $2$ .

$5 + 8 + 3 \cdot 3 + 2 + 3 \cdot 4 + 2$

Étape 3.2.5

Additionnez $5$ et $8$ .

$13 + 3 \cdot 3 + 2 + 3 \cdot 4 + 2$

Étape 3.2.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$13 + 9 + 2 + 3 \cdot 4 + 2$

Étape 3.2.7

Additionnez $9$ et $2$ .

$13 + 11 + 3 \cdot 4 + 2$

Étape 3.2.8

Additionnez $13$ et $11$ .

$24 + 3 \cdot 4 + 2$

Étape 3.2.9

Multipliez $3$ par $4$ .

$24 + 12 + 2$

Étape 3.2.10

Additionnez $12$ et $2$ .

$24 + 14$

Étape 3.2.11

Additionnez $24$ et $14$ .

$38$

Étape 4

Remplacez les additions par les valeurs déterminées.

$299 - 38$

Étape 5

Soustrayez $38$ de $299$ .

$261$